Una pietra viene lanciata, con velocità iniziale di 15 m/s, dalla cima di una rupe di altezza 20 m, contemporaneamente
un'altra pietra viene lanciata verticalmente dal fondo della rupe verso l'alto anch'essa con velocità di 15 m/s.
Determinare:
a) Dopo quanto tempo e a quale altezza le pietre si incontrano?
b) La pietra lanciata dal basso raggiunge la cima della rupe?
Dati del problema:
- Altezza della rupe: h = 20 m;
- Velocità della pietra lanciata verso il basso: v01 = 15 m/s;
- Velocità della pietra lanciata verso l'alto: v02 = 15 m/s;
- Accelerazione di gravità: g = 9,8 m/s2.
Schema del problema:
Scegliamo un sistema di riferimento orientato verso l'alto con origine nella parte più bassa da cui viene lanciata
la pietra verso l'alto. L'accelerazione di gravità e la velocità della pietra lanciata dalla cima della rupe sono
orientate nel verso contrario a quello della traiettoria e sono negative,
v01 = −15 m/s, g = −9,8 m/s2, poiché la pietra viene lanciata dalla
cima della rupe la sua posizione iniziale sarà S01 = 20 m. La pietra lanciata dal basso ha la sua
velocità nello stesso verso della traiettoria, è positiva v02 = 15 m/s, poiché si trova
nell'origine la sua posizione iniziale sarà S02 = 0 (Figura 1).
Solução:
a) I moti di caduta libera e di lancio verticale sono dati da
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{S=S_0+v_0t-\frac{g}{2}t^2}
\end{gather}
\]
Le equazioni della posizione in funzione del tempo per le pietre saranno
\[
\begin{gather}
S_1=S_{01}+v_{01}t-\frac{g}{2}t^2 \\[5pt]
S_1=20-15t-\frac{9,8}{2}t^2 \\[5pt]
S_1=20-15t-4,9t^2 \tag{I} \\[10pt]
S_2=S_{02}+v_{02}t-\frac{g}{2}t^2 \\[5pt]
S_2=0+15t-\frac{9,8}{2}t^2 \\[5pt]
S_2=15t-4,9t^2 \tag{II}
\end{gather}
\]
Quando le pietre si incontrano abbiamo la condizione che le loro posizioni siano uguali, uguagliando le
equazioni (I) e (II)
\[
\begin{gather}
S_1=S_2 \\[5pt]
20-15t-4,9t^2=15t-4,9t^2 \\[5pt]
20=15t+4,9t^2+15t-4,9t^2 \\[5pt]
30t=20 \\[5pt]
t=\frac{2 \cancel 0}{3 \cancel 0} \\[5pt]
t=\frac{2}{3} \tag{III}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{t\;\approx\;0,67\;\mathrm s}
\end{gather}
\]
Per determinare il punto d'incontro delle pietre sostituiremo l'intervallo di tempo, trovato sotto forma
dell'equazione (III), nell'equazione (II)
\[
\begin{gather}
S_2=\cancelto{5}{15}\times\frac{2}{\cancel 3}-5\times\left(\frac{2}{3}\right)^2 \\[5pt]
S_2=5\times 2-5\times\frac{4}{9} \\[5pt]
S_2=10-\frac{20}{9}
\end{gather}
\]
moltiplicando e dividendo per 9 il primo termine del membro destro dell'uguaglianza
\[
\begin{gather}
S_2=10\times\frac{9}{9}-\frac{20}{9} \\[5pt]
S_2=\frac{90}{9}-\frac{20}{9} \\[5pt]
S_2=\frac{70}{9}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{S_2\approx 7,8\;\mathrm m}
\end{gather}
\]
Osservazione: Se sostituissimo l'intervallo di tempo nell'equazione (I) otterremmo lo stesso risultato,
poiché è il punto della traiettoria in cui le pietre si incrociano.
b) Quando la pietra lanciata dal basso raggiunge la sua altezza massima,
hmáx, si ferma per un
istante e la sua velocità si annulla,
v2 = 0, prima di iniziare a cadere (Figura 2). Applicando
l'
Equazione di Torricelli
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{v^2=v_0^2-2g\Delta S}
\end{gather}
\]
dove Δ
S =
hmax
\[
\begin{gather}
v_2^2=v_{02}^2-2gh_{max} \\[5pt]
h_{max}=\frac{v_{02}^2-v_2^2}{2g} \\[5pt]
h_{max}=\frac{15^2-0^2}{2\times 9,8} \\[5pt]
h_{max}=\frac{225}{19,6} \\[5pt]
h_{max}\approx 11,5\;\mathrm{m}
\end{gather}
\]
La pietra lanciata dal basso
non raggiunge la cima della rupe.
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