Exercício Resolvido de Movimento Unidimensional
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Uma pedra é jogada, com velocidade inicial de 15 m/s, do alto de um penhasco de 20 m de altura, simultaneamente uma outra pedra é lançada verticalmente da parte inferior do penhasco para cima também com velocidade de 15 m/s. Determine:
a) Depois de quanto tempo e a que altura as pedras se cruzam?
b) A pedra lançada de baixo atinge o alto do penhasco?


Dados do problema:
  • Altura do penhasco:    h = 20 m;
  • Velocidade da pedra jogada para baixo:    v01 = 15 m/s;
  • Velocidade da pedra lanada para cima:    v02 = 15 m/s;
  • Aceleração da gravidade:    g = 9,8 m/s2.
Esquema do problema:

Adotamos um sistema de referência orientado para cima com origem na parte mais baixa de onde é lançada a pedra para cima. A aceleração da gravidade e a velocidade da pedra jogada de cima do penhasco estão orientadas no sentido contrário da trajetória e são negativas, v01 = −15 m/s, g = −9,8 m/s2, como a pedra é lançada do alto do penhasco sua posição inicial será S01 = 20 m. A pedra lançada de baixo tem sua velocidade no mesmo sentido da trajetória, é positiva v02 = 15 m/s, como ela está na origem sua posição inicial será S02 = 0 (Figura 1).
Figura 1

Solução

a) Os movimentos de queda livre e lançamento vertical são dados por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {S=S_0+v_0t-\frac{g}{2}t^2} \end{gather} \]
As equaçóes horárias para as pedras serão
\[ \begin{gather} S_1=S_{01}+v_{01}t-\frac{g}{2}t^2\\[5pt] S_1=20-15t-\frac{9,8}{2}t^2\\[5pt] S_1=20-15t-4,9t^2 \tag{I} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} S_2=S_{02}+v_{02}t-\frac{g}{2}t^2\\[5pt] S_2=0+15t-\frac{9,8}{2}t^{2}\\[5pt] S_2=15t-4,9t^{2} \tag{II} \end{gather} \]
Quando as pedras se encontram temos a condição de que suas posições são iguais, igualando as equações (I) e (II)
\[ \begin{gather} S_1=S_2\\[5pt] 20-15t-4,9t^2=15t-4,9t^2\\[5pt] 20=15t+4,9t^{2}+15t-4,9t^{2}\\[5pt] 30t=20\\[5pt] t=\frac{2 \cancel 0}{3 \cancel 0}\\[5pt] t=\frac{2}{3} \tag{III} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {t\;\approx \;0,67\;\mathrm s} \end{gather} \]
Para encontrarmos o ponto de encontro das pedras vamos substituir o intervalo de tempo, encontrado na forma da expressão (III) na equação (II)
\[ \begin{gather} S_2=\cancelto{5}{15}\times\frac{2}{\cancel 3}-5\times\left(\frac{2}{3}\right)^2\\[5pt] S_2=5\times 2-5\times\frac{4}{9}\\[5pt] S_2=10-\frac{20}{9} \end{gather} \]
multiplicando e dividindo por 9 o primeiro termo do lado direito da igualdade
\[ \begin{gather} S_2=10\times\frac{9}{9}-\frac{20}{9}\\[5pt] S_2=\frac{90}{9}-\frac{20}{9}\\[5pt] S_2=\frac{70}{9} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {S_2\approx 7,8\;\mathrm m} \end{gather} \]
Observação: se substituíssemos o intervalo de tempo na equação (I) obteríamos o mesmo resultado, já que é o ponto da trajetória onde as pedras se cruzam.


b) Quando a pedra lançada de baixo atinge sua altura máxima, hmáx, ela para por um instante e sua velocidade se anula, v2 = 0, antes de começar a cair (Figura 2). Aplicando a Equação de Torricelli
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v^2=v_0^2-2g\Delta S} \end{gather} \]
onde ΔS = hmáx
\[ \begin{gather} v_2^2=v_{02}^2-2gh_{max}\\[5pt] h_{max}=\frac{v_{02}^2-v_2^2}{2g}\\[5pt] h_{max}=\frac{15^2-0^2}{2\times 9,8}\\[5pt] h_{max}=\frac{225}{19,6}\\[5pt] h_{max}\approx 11,5\;\mathrm{m} \end{gather} \]
A pedra lançada de baixo não atinge o alto do penhasco.
Figura 2
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