Ein Stein wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 15 m/s von der Spitze eines 20 m hohen Felsens nach unten
geworfen. Gleichzeitig wird ein anderer Stein vom unteren Teil des Felsens mit einer Geschwindigkeit von ebenfalls
15 m/s senkrecht nach oben geworfen. Bestimmen Sie:
a) Nach welcher Zeit und in welcher Höhe kreuzen sich die Steine?
b) Erreicht der von unten geworfene Stein die Spitze des Felsens?
Gegebene Daten:
- Höhe des Felsens: h = 20 m;
- Geschwindigkeit des von oben geworfenen Steins: v01 = 15 m/s;
- Geschwindigkeit des nach oben geworfenen Steins: v02 = 15 m/s;
- Erdbeschleunigung: g = 9,8 m/s2.
Schema des Problems:
Wir wählen ein Bezugssystem, das nach oben orientiert ist, mit dem Ursprung am unteren Punkt, von dem aus der Stein
nach oben geworfen wird. Die Erdbeschleunigung und die Geschwindigkeit des vom oberen Teil des Felsens geworfenen
Steins sind entgegengesetzt zur Orientierung der Trajektorie gerichtet und sind negativ,
v01 = −15 m/s, g = −9,8 m/s2. Da der Stein von der Spitze des
Felsens geworfen wird, ist seine Anfangsposition S01 = 20 m. Der von unten geworfene Stein hat
seine Geschwindigkeit in derselben Richtung wie die Trajektorie und sie ist positiv, v02 = 15 m/s.
Da er sich im Ursprung befindet, ist seine Anfangsposition S02 = 0 (Abbildung 1).
Lösung:
a) Die Bewegungen des freien Falls und des senkrechten Wurfs sind gegeben durch
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{S=S_0+v_0t-\frac{g}{2}t^2}
\end{gather}
\]
Die Gleichungen der Position als Funktion der Zeit für die Steine sind
\[
\begin{gather}
S_1=S_{01}+v_{01}t-\frac{g}{2}t^2 \\[5pt]
S_1=20-15t-\frac{9,8}{2}t^2 \\[5pt]
S_1=20-15t-4,9t^2 \tag{I} \\[10pt]
S_2=S_{02}+v_{02}t-\frac{g}{2}t^2 \\[5pt]
S_2=0+15t-\frac{9,8}{2}t^2 \\[5pt]
S_2=15t-4,9t^2 \tag{II}
\end{gather}
\]
Wenn sich die Steine treffen, gilt die Bedingung, dass ihre Positionen gleich sind. Wir setzen die Gleichungen (I)
und (II) gleich
\[
\begin{gather}
S_1=S_2 \\[5pt]
20-15t-4,9t^2=15t-4,9t^2 \\[5pt]
20=15t+4,9t^2+15t-4,9t^2 \\[5pt]
30t=20 \\[5pt]
t=\frac{2 \cancel 0}{3 \cancel 0} \\[5pt]
t=\frac{2}{3} \tag{III}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{t\;\approx\;0,67\;\mathrm s}
\end{gather}
\]
Um den Treffpunkt der Steine zu bestimmen, setzen wir das Zeitintervall, das in Form der Gleichung (III) gefunden
wurde, in die Gleichung (II) ein
\[
\begin{gather}
S_2=\cancelto{5}{15}\times\frac{2}{\cancel 3}-5\times\left(\frac{2}{3}\right)^2 \\[5pt]
S_2=5\times 2-5\times\frac{4}{9} \\[5pt]
S_2=10-\frac{20}{9}
\end{gather}
\]
Wir multiplizieren und dividieren den ersten Term auf der rechten Seite der Gleichung mit 9
\[
\begin{gather}
S_2=10\times\frac{9}{9}-\frac{20}{9} \\[5pt]
S_2=\frac{90}{9}-\frac{20}{9} \\[5pt]
S_2=\frac{70}{9}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{S_2\approx 7,8\;\mathrm m}
\end{gather}
\]
Anmerkung: Wenn wir das Zeitintervall in die Gleichung (I) einsetzen würden, erhielten wir dasselbe
Ergebnis, da es sich um den Punkt der Trajektorie handelt, an dem sich die Steine kreuzen.
b) Wenn der von unten geworfene Stein seine maximale Höhe
hmax erreicht, kommt er für einen
Augenblick zum Stillstand und seine Geschwindigkeit wird null,
v2 = 0, bevor er zu fallen beginnt
(Abbildung 2). Wir wenden die Gleichung der Geschwindigkeit als Funktion des Zurückgelegten Weges an
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{v^2=v_0^2-2g\Delta S}
\end{gather}
\]
wobei Δ
S =
hmax
\[
\begin{gather}
v_2^2=v_{02}^2-2gh_{max} \\[5pt]
h_{max}=\frac{v_{02}^2-v_2^2}{2g} \\[5pt]
h_{max}=\frac{15^2-0^2}{2\times 9,8} \\[5pt]
h_{max}=\frac{225}{19,6} \\[5pt]
h_{max}\approx 11,5\;\mathrm{m}
\end{gather}
\]
Der von unten geworfene Stein erreicht Spitze des Felsens nicht die.
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