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FISICAEXE
Esercizio Risolto di Moto Unidimensionale
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Sulla Luna, si lascia cadere una pietra da un'altezza di 20 metri partendo da ferma. Essa cade sotto l'azione dell'accelerazione di gravità lunare fino a raggiungere il suolo con una velocità v. Determinare da quale altezza deve essere lasciata cadere la pietra sulla Terra affinché raggiunga il suolo con la stessa velocità v. Accelerazione di gravità sulla Terra gT = 9,8 m/s2, accelerazione di gravità sulla Luna gL = 1,6 m/s2.

Dati del problema:

  • Altezza della caduta sulla Luna: HL = 20 m;
  • Velocità iniziale della pietra: v0 = 0;
  • Accelerazione di gravità sulla Terra: gT = 9,8 m/s2;
  • Accelerazione di gravità sulla Luna: gL = 1,6 m/s2.

Schema del problema:

Scegliamo un sistema di riferimento orientato verso l'alto con origine sul suolo, in entrambi i casi, poiché le accelerazioni di gravità sono orientate verso il suolo, i loro segni saranno negativi.

Figura 1

Per la Luna abbiamo la posizione iniziale della pietra S0L = 20 m e la posizione finale SL = 0; per la Terra la posizione iniziale sarà S0T = HT e la posizione finale ST = 0.

Soluzione:

Per trovare la velocità finale con cui la pietra raggiunge il suolo, poiché non abbiamo l'intervallo di tempo della caduta, usiamo l'Equazione di Torricelli

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {v^2=v_0^2+2a\Delta S} \end{gather} \]
  • Per la Luna:
\[ \begin{gather} v_{\small L}^2=v_0^2+2g_{\small L}\Delta S_{\small L} \\[5pt] v_{\small L}^2=v_0^2+2g_{\small L}(S_{\small L}-S_{0\small L}) \\[5pt] v_{\small L}^2=0-2\times 1,6\times (0-20) \\[5pt] v_{\small L}=\sqrt{64\;} \\[5pt] v_{\small L}=8\;\mathrm{m/s} \end{gather} \]

Vogliamo che la velocità con cui la pietra raggiunge il suolo sulla Terra sia la stessa velocità che ha sulla Luna, v = vL = vT.

  • Per la Terra:
\[ \begin{gather} v_{\small L}^2=v_0^2+2g_{\small T}\Delta S_{\small T} \\[5pt] v_{\small L}^2=v_0^2+2g_{\small T}(S_{\small T}-H_{\small T}) \\[5pt] S_{\small T}-H_{\small T}=\frac{v_{\small L}^2-v_0^2}{2g_{\small T}} \\[5pt] -H_{\small T}=\frac{v_{\small L}^2-v_0^2}{2g_{\small T}}-S_{\small T} \\[5pt] -H_{\small T}=\frac{8^2-0^2}{2\times(-9,8)}-0 \\[5pt] -H_{\small T}=\frac{64}{-19,6} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {H_{\small T}\approx 3,3\;\mathrm m} \end{gather} \]
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