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FISICAEXE
Gelöste Aufgabe zur eindimensionalen Bewegung
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Auf dem Mond wird ein Stein aus einer Höhe von 20 Metern aus der Ruhe losgelassen. Er fällt unter der Wirkung der Erdbeschleunigung des Mondes, bis er den Boden mit einer Geschwindigkeit v erreicht. Bestimmen Sie, aus welcher Höhe der Stein auf der Erde losgelassen werden muss, damit er den Boden mit derselben Geschwindigkeit v erreicht. Erdbeschleunigung auf der Erde: gE = 9,8 m/s2, Erdbeschleunigung auf dem Mond gM = 1,6 m/s2.

Gegebene Daten:

  • Fallhöhe auf dem Mond: HM = 20 m;
  • Anfangsgeschwindigkeit des Steins: v0 = 0;
  • Erdbeschleunigung auf der Erde: gE = 9,8 m/s2;
  • Erdbeschleunigung auf dem Mond: gM = 1,6 m/s2.

Schema des Problems:

Wir wählen ein Bezugssystem, das nach oben orientiert ist und dessen Ursprung in beiden Fällen am Boden liegt. Da die Erdbeschleunigungen zum Boden gerichtet sind, sind ihre Vorzeichen negativ.

Abb. 1

Für den Mond gilt die Anfangsposition des Steins S0M = 20 m und die Endposition SM = 0. Für die Erde ist die Anfangsposition S0E = HE und die Endposition SE = 0.

Lösung:

Um die Endgeschwindigkeit zu bestimmen, mit der der Stein den Boden erreicht, verwenden wir die Gleichung der Geschwindigkeit als Funktion des zurückgelegten Weges, da das Zeitintervall des Falls nicht gegeben ist.

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {v^2=v_0^2+2a\Delta S} \end{gather} \]
  • Für den Mond:
\[ \begin{gather} v_{\small M}^2=v_0^2+2g_{\small M}\Delta S_{\small M} \\[5pt] v_{\small M}^2=v_0^2+2g_{\small M}(S_{\small M}-S_{0\small M}) \\[5pt] v_{\small M}^2=0-2\times 1,6\times (0-20) \\[5pt] v_{\small M}=\sqrt{64\;} \\[5pt] v_{\small M}=8\;\mathrm{m/s} \end{gather} \]

Wir möchten, dass die Geschwindigkeit, mit der der Stein auf der Erde den Boden erreicht, dieselbe ist wie auf dem Mond, also v = vM = vE.

  • Für die Erde:
\[ \begin{gather} v_{\small M}^2=v_0^2+2g_{\small E}\Delta S_{\small E} \\[5pt] v_{\small M}^2=v_0^2+2g_{\small E}(S_{\small E}-H_{\small E}) \\[5pt] S_{\small E}-H_{\small E}=\frac{v_{\small M}^2-v_0^2}{2g_{\small E}} \\[5pt] -H_{\small E}=\frac{v_{\small M}^2-v_0^2}{2g_{\small E}}-S_{\small E} \\[5pt] -H_{\small E}=\frac{8^2-0^2}{2\times(-9,8)}-0 \\[5pt] -H_{\small E}=\frac{64}{-19,6} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {H_{\small E}\approx 3,3\;\mathrm m} \end{gather} \]
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