Ejercicio Resuelto sobre Movimiento Unidimensional
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En la Luna, se deja caer una piedra desde una altura de 20 metros desde el reposo. Caerá bajo la acción de la aceleración de la gravedad lunar hasta que alcance el suelo con una velocidad v. Determina desde qué altura debe dejar caer la piedra en la Tierra para que alcance el suelo con la misma velocidad v. La aceleración de la gravedad en la Tierra es gT = 9,8 m/s2, la aceleración de la gravedad en la Luna es gL = 1,6 m/s2.


Datos del problema:
  • Altura de la caída en la Luna:    HL = 20 m;
  • Velocidad inicial de la piedra:    v0 = 0;
  • Aceleración de la gravedad en la Tierra:    gT = 9,8 m/s2;
  • Aceleración de la gravedad en la Luna:    gL = 1,6 m/s2.
Esquema del problema:

Tomamos un sistema de referencia orientado hacia arriba con origen en el suelo, en ambos casos, dado que las aceleraciones debidas a la gravedad apuntan hacia abajo, sus signos serán negativos.

Figura 1

Para la Luna, tenemos la posición inicial de la piedra S0L = 20 m y la posición final SL = 0; para la Tierra, la posición inicial será S0T = HT y la posición final ST = 0.

Solución

Para encontrar la velocidad final con la que la piedra alcanza el suelo, dado que no tenemos el intervalo de tiempo de la caída, utilizamos la ecuación de la velocidad en función del desplazamiento
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v^2=v_0^2+2a\Delta S} \end{gather} \]
  • Para la Luna:
\[ \begin{gather} v_{\small L}^2=v_0^2+2g_{\small L}\Delta S_{\small L}\\[5pt] v_{\small L}^2=v_0^2+2g_{\small L}(S_{\small L}-S_{0\small L})\\[5pt] v_{\small L}^2=0-2\times 1,6\times (0-20)\\[5pt] v_{\small L}=\sqrt{64\;}\\[5pt] v_{\small L}=8\;\mathrm{m/s} \end{gather} \]
Queremos que la velocidad con la que la piedra alcance el suelo en la Tierra sea la misma que en la Luna, v = vL = vT.
  • Para la Tierra:
\[ \begin{gather} v_{\small L}^2=v_0^2+2g_{\small T}\Delta S_{\small T}\\[5pt] v_{\small L}^2=v_0^2+2g_{\small T}(S_{\small T}-H_{\small T})\\[5pt] S_{\small T}-H_{\small T}=\frac{v_{\small L}^2-v_0^2}{2g_{\small T}}\\[5pt] -H_{\small T}=\frac{v_{\small L}^2-v_0^2}{2g_{\small T}}-S_{\small T}\\[5pt] -H_{\small T}=\frac{8^2-0^2}{2\times(-9,8)}-0\\[5pt] -H_{\small T}=\frac{64}{-19,6} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {H_{\small T}\approx 3,3\;\mathrm m} \end{gather} \]
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