Exercice Résolu sur les Mouvement Unidimensionnel
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Sur la Lune, une pierre est abandonnée d'une hauteur de 20 mètres à partir du repos. Elle tombe sous l'action de l'accélération de la pesanteur lunaire jusqu'à ce qu'elle atteigne le sol avec une vitesse v. Déterminer à quelle hauteur la pierre doit être abandonnée sur Terre pour qu'elle atteigne le sol avec la même vitesse v. L'accélération de la pesanteur sur Terre est gT = 9,8 m/s2, l'accélération de la pesanteur sur la Lune est gL = 1,6 m/s2.


Données du problème:
  • Hauteur de chute sur la Lune:    HL = 20 m;
  • Vitesse initiale de la pierre:    v0 = 0;
  • Accélération de la pesanteur sur Terre:    gT = 9,8 m/s2;
  • Accélération de la pesanteur sur la Lune:    gL = 1,6 m/s2.
Schéma du problème:

Nous choisissons un référentiel orienté vers le haut avec l'origine au sol, dans les deux cas, comme les accélérations de la pesanteur pointent vers le sol, leurs signes seront négatifs.

Figure 1

Pour la Lune, nous avons la position initiale de la pierre S0L = 20 m et la position finale SL = 0, pour la Terre la position initiale sera S0T = HT et la position finale ST = 0.

Solution

Pour trouver la vitesse finale à laquelle la pierre atteint le sol, comme nous n'avons pas l'intervalle de temps de chute, nous utilisons l'équation de la vitesse en fonction de deplacement
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v^2=v_0^2+2a\Delta S} \end{gather} \]
  • Pour la Lune:
\[ \begin{gather} v_{\small L}^2=v_0^2+2g_{\small L}\Delta S_{\small L}\\[5pt] v_{\small L}^2=v_0^2+2g_{\small L}(S_{\small L}-S_{0\small L})\\[5pt] v_{\small L}^2=0-2\times 1,6\times (0-20)\\[5pt] v_{\small L}=\sqrt{64\;}\\[5pt] v_{\small L}=8\;\mathrm{m/s} \end{gather} \]
Nous voulons que la vitesse à laquelle la pierre atteint le sol sur Terre soit la même que sur la Lune, v = vL = vT.
  • Pour la Terre:
\[ \begin{gather} v_{\small L}^2=v_0^2+2g_{\small T}\Delta S_{\small T}\\[5pt] v_{\small L}^2=v_0^2+2g_{\small T}(S_{\small T}-H_{\small T})\\[5pt] S_{\small T}-H_{\small T}=\frac{v_{\small L}^2-v_0^2}{2g_{\small T}}\\[5pt] -H_{\small T}=\frac{v_{\small L}^2-v_0^2}{2g_{\small T}}-S_{\small T}\\[5pt] -H_{\small T}=\frac{8^2-0^2}{2\times(-9,8)}-0\\[5pt] -H_{\small T}=\frac{64}{-19,6} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {H_{\small T}\approx 3,3\;\mathrm m} \end{gather} \]
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