Il moto di un corpo è dato dal grafico della velocità in funzione del tempo, v = f(t):
Determinare:
a) Lo spazio percorso tra 1 s e 9 s;
b) La velocità media tra 1 s e 9 s;
c) L'accelerazione media tra 1 s e 9 s.
Soluzione:
a) In un grafico della velocità in funzione del tempo, v = f(t), lo spazio percorso è uguale
all'area sotto la curva.
Possiamo dividere il grafico nelle seguenti aree (Figura 1):
- Tra gli istanti 1 s e 2 s, un triangolo di area uguale a
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{A_1=\frac{Bh}{2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
A_1=\frac{(2-1)\times 1}{2} \\[5pt]
A_1=\frac{1\times 1}{2} \\[5pt]
A_1=\frac{1}{2} \\[5pt]
A_1=0,5
\end{gather}
\]
- Tra gli istanti 2 s e 3 s, la velocità è nulla, pertanto il corpo è rimasto fermo, non c'è stato spostamento.
- Tra gli istanti 3 s e 4 s, un triangolo di area uguale a
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{A_2=\frac{Bh}{2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
A_2=\frac{(4-3)\times 3}{2} \\[5pt]
A_2=\frac{1\times 3}{2} \\[5pt]
A_2=\frac{3}{2} \\[5pt]
A_2=1,5
\end{gather}
\]
- Tra gli istanti 4 s e 6 s, un trapezio di area uguale a
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{A_3=\frac{(B+b)h}{2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
A_3=\frac{(4+3)\times(6-4)}{2} \\[5pt]
A_3=\frac{7\times 2}{2} \\[5pt]
A_3=7
\end{gather}
\]
- Tra gli istanti 6 s e 7 s, un rettangolo di area uguale a
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{A_4=L_1 L_2}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
A_4=4\times (7-6) \\[5pt]
A_4=4\times 1 \\[5pt]
A_4=4
\end{gather}
\]
- Tra gli istanti 7 s e 9 s, un trapezio di area uguale a
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{A_5=\frac{(B+b)h}{2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
A_5=\frac{(4+2)\times(9-7)}{2} \\[5pt]
A_5=\frac{6\times 2}{2} \\[5pt]
A_5=6
\end{gather}
\]
Lo spazio percorso sarà l'area totale data dalla somma delle aree trovate.
\[
\begin{gather}
\Delta S=A_1+A_2+A_3+A_4+A_5 \\[5pt]
\Delta S=0,5+1,5+7+4+6
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{\Delta S=19\;\mathrm m}
\end{gather}
\]
b) La velocità media è data da
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{v_m=\frac{\Delta S}{\Delta t}}
\end{gather}
\]
usando lo spazio percorso trovato al punto (a)
\[
\begin{gather}
v_m=\frac{19}{9-1} \\[5pt]
v_m=\frac{19}{8}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{v_m\approx 2,4\;\mathrm{m/s}}
\end{gather}
\]
c) L'accelerazione media è data da
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{a_m=\frac{\Delta v}{\Delta t}}
\end{gather}
\]
dal grafico abbiamo che per t1 = 1 s la velocità vale v1 = 1 m/s, e per
t2 = 9 s la velocità vale v2 = 2 m/s
\[
\begin{gather}
a_m=\frac{2-1}{9-1} \\[5pt]
a_m=\frac{1}{8}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{a_m\approx 0,1\;\mathrm{m/s^2}}
\end{gather}
\]
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