Exercice Résolu sur les Mouvement Unidimensionnel
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Le mouvement d'un corps est donné par le graphique de la vitesse en fonction du temps, v = f(t):


Déterminer:
a) L'espace parcouru entre 1 s et 9 s;
b) La vitesse moyenne entre 1 s et 9 s;
c) L'accélération moyenne entre 1 s et 9 s.


Solution

a) Sur un graphique de la vitesse en fonction du temps, v = f(t), l'espace parcouru est égal à l'aire sous la courbe.

Figure 1

Nous pouvons diviser le graphique en les zones suivantes (Figure 1):
  • Entre les instants 1 s et 2 s, un triangle d'aire égale à
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {A_1=\frac{Bh}{2}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} A_1=\frac{(2-1)\times 1}{2}\\[5pt] A_1=\frac{1\times 1}{2}\\[5pt] A_1=\frac{1}{2}\\[5pt] A_1=0,5 \end{gather} \]
  • Entre les instants 2 s et 3 s, la vitesse est nulle, donc le mobile est resté au repos, il n'y a pas eu de déplacement.
  • Entre les instants 3 s et 4 s, un triangle d'aire égale à
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {A_2=\frac{Bh}{2}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} A_2=\frac{(4-3)\times 3}{2}\\[5pt] A_2=\frac{1\times 3}{2}\\[5pt] A_2=\frac{3}{2}\\[5pt] A_2=1,5 \end{gather} \]
  • Entre les instants 4 s et 6 s, un trapèze d'aire égale à
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {A_3=\frac{(B+b)h}{2}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} A_3=\frac{(4+3)\times(6-4)}{2}\\[5pt] A_3=\frac{7\times 2}{2}\\[5pt] A_3=7 \end{gather} \]
  • Entre les instants 6 s et 7 s, un rectangle d'aire égale à
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {A_4=L_1 L_2} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} A_4=4\times (7-6)\\[5pt] A_4=4\times 1\\[5pt] A_4=4 \end{gather} \]
  • Entre les instants 7 s et 9 s, un trapèze d'aire égale à
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {A_5=\frac{(B+b)h}{2}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} A_5=\frac{(4+2)\times(9-7)}{2}\\[5pt] A_5=\frac{6\times 2}{2}\\[5pt] A_5=6 \end{gather} \]
L'espace parcouru sera l'aire totale donnée par la somme des aires trouvées
\[ \begin{gather} \Delta S=A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}+A_{5}\\[5pt] \Delta S=0,5+1,5+7+4+6 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\Delta S=19\;\mathrm m} \end{gather} \]

b) La vitesse moyenne est donnée par
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v_m=\frac{\Delta S}{\Delta t}} \end{gather} \]
en utilisant l'espace parcouru trouvé dans la partie (a)
\[ \begin{gather} v_m=\frac{19}{9-1}\\[5pt] v_m=\frac{19}{8} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v_m\approx 2,4\;\mathrm{m/s}} \end{gather} \]

c) L'accélération moyenne est donnée par
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {a_m=\frac{\Delta v}{\Delta t}} \end{gather} \]
du graphique, nous savons que pour t1 = 1 s, la vitesse est v1 = 1 m/s, et pour t2 = 9 s, la vitesse est v2 = 2 m/s
\[ \begin{gather} a_m=\frac{2-1}{9-1}\\[5pt] a_m=\frac{1}{8} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a_m\approx 0,1\;\mathrm{m/s^2}} \end{gather} \]
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