Exercício Resolvido de Movimento Unidimensional
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O movimento de um corpo é dado pelo gráfico da velocidade em função do tempo, v = f(t):


Determinar:
a) O espaço percorrido entre 1 s e 9 s;
b) A velocidade média entre 1 s e 9 s;
c) A aceleração média entre 1 s e 9 s.


Solução

a) Em um gráfico da velocidade em função do tempo, v = f(t), o espaço percorrido é igual a área sob a curva.

Figura 1

Podemos dividir o gráfico nas seguintes áreas (Figura 1):
  • Entre os instantes 1 s e 2 s, um triângulo de área igual à
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {A_1=\frac{Bh}{2}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} A_1=\frac{(2-1)\times 1}{2}\\[5pt] A_1=\frac{1\times 1}{2}\\[5pt] A_1=\frac{1}{2}\\[5pt] A_1=0,5 \end{gather} \]
  • Entre os instantes 2 s e 3 s, a velocidade é nula, portanto o móvel permaneceu em repouso, não houve deslocamento.
  • Entre os instantes 3 s e 4 s, um triângulo de área igual a
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {A_2=\frac{Bh}{2}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} A_2=\frac{(4-3)\times 3}{2}\\[5pt] A_2=\frac{1\times 3}{2}\\[5pt] A_2=\frac{3}{2}\\[5pt] A_2=1,5 \end{gather} \]
  • Entre os instantes 4 s e 6 s, um trapézio de área igual a
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {A_3=\frac{(B+b)h}{2}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} A_3=\frac{(4+3)\times(6-4)}{2}\\[5pt] A_3=\frac{7\times 2}{2}\\[5pt] A_3=7 \end{gather} \]
  • Entre os instantes 6 s e 7 s, um retângulo de área igual a
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {A_4=L_1 L_2} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} A_4=4\times (7-6)\\[5pt] A_4=4\times 1\\[5pt] A_4=4 \end{gather} \]
  • Entre os instantes 7 s e 9 s, um trapézio de área igual a
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {A_5=\frac{(B+b)h}{2}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} A_5=\frac{(4+2)\times(9-7)}{2}\\[5pt] A_5=\frac{6\times 2}{2}\\[5pt] A_5=6 \end{gather} \]
O espaço percorrido será a área total dada pela soma das áreas encontradas
\[ \begin{gather} \Delta S=A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}+A_{5}\\[5pt] \Delta S=0,5+1,5+7+4+6 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\Delta S=19\;\mathrm m} \end{gather} \]

b) A velocidade média é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v_m=\frac{\Delta S}{\Delta t}} \end{gather} \]
usando o espaço percorrido encontrado no item (a)
\[ \begin{gather} v_m=\frac{19}{9-1}\\[5pt] v_m=\frac{19}{8} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v_m\approx 2,4\;\mathrm{m/s}} \end{gather} \]

c) A aceleração média é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {a_m=\frac{\Delta v}{\Delta t}} \end{gather} \]
do gráfico temos que para t1 = 1 s a velocidade vale v1 = 1 m/s, e para t2 = 9 s a velocidade vale v2 = 2 m/s
\[ \begin{gather} a_m=\frac{2-1}{9-1}\\[5pt] a_m=\frac{1}{8} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a_m\approx 0,1\;\mathrm{m/s^2}} \end{gather} \]
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