Die Bewegung eines Körpers ist durch das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm, v = f(t), gegeben:
Zu bestimmen:
a) Die zurückgelegte Strecke zwischen 1 s und 9 s;
b) Die Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen 1 s und 9 s;
c) Die mittlere Beschleunigung zwischen 1 s und 9 s.
Lösung:
a) In einem Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm, v = f(t), ist die zurückgelegte Strecke gleich der
Fläche unter der Kurve.
Wir können das Diagramm in die folgenden Flächen unterteilen (Abbildung 1):
- Zwischen den Zeitpunkten 1 s und 2 s ein Dreieck mit einer Fläche gleich
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{A_1=\frac{Bh}{2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
A_1=\frac{(2-1)\times 1}{2} \\[5pt]
A_1=\frac{1\times 1}{2} \\[5pt]
A_1=\frac{1}{2} \\[5pt]
A_1=0,5
\end{gather}
\]
- Zwischen den Zeitpunkten 2 s und 3 s ist die Geschwindigkeit null, daher blieb der Körper in Ruhe; es gab keine Verschiebung.
- Zwischen den Zeitpunkten 3 s und 4 s ein Dreieck mit einer Fläche gleich
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{A_2=\frac{Bh}{2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
A_2=\frac{(4-3)\times 3}{2} \\[5pt]
A_2=\frac{1\times 3}{2} \\[5pt]
A_2=\frac{3}{2} \\[5pt]
A_2=1,5
\end{gather}
\]
- Zwischen den Zeitpunkten 4 s und 6 s ein Trapez mit einer Fläche gleich
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{A_3=\frac{(B+b)h}{2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
A_3=\frac{(4+3)\times(6-4)}{2} \\[5pt]
A_3=\frac{7\times 2}{2} \\[5pt]
A_3=7
\end{gather}
\]
- Zwischen den Zeitpunkten 6 s und 7 s ein Rechteck mit einer Fläche gleich
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{A_4=L_1 L_2}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
A_4=4\times (7-6) \\[5pt]
A_4=4\times 1 \\[5pt]
A_4=4
\end{gather}
\]
- Zwischen den Zeitpunkten 7 s und 9 s ein Trapez mit einer Fläche gleich
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{A_5=\frac{(B+b)h}{2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
A_5=\frac{(4+2)\times(9-7)}{2} \\[5pt]
A_5=\frac{6\times 2}{2} \\[5pt]
A_5=6
\end{gather}
\]
Die zurückgelegte Strecke ist die Gesamtfläche, die sich aus der Summe der ermittelten Flächen ergibt.
\[
\begin{gather}
\Delta S=A_1+A_2+A_3+A_4+A_5 \\[5pt]
\Delta S=0,5+1,5+7+4+6
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{\Delta S=19\;\mathrm m}
\end{gather}
\]
b) Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist gegeben durch
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{v_m=\frac{\Delta S}{\Delta t}}
\end{gather}
\]
unter Verwendung der im Teil (a) ermittelten zurückgelegten Strecke
\[
\begin{gather}
v_m=\frac{19}{9-1} \\[5pt]
v_m=\frac{19}{8}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{v_m\approx 2,4\;\mathrm{m/s}}
\end{gather}
\]
c) Die mittlere Beschleunigung ist gegeben durch
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{a_m=\frac{\Delta v}{\Delta t}}
\end{gather}
\]
aus dem Diagramm ergibt sich, dass für t1 = 1 s die Geschwindigkeit v1 = 1 m/s
beträgt und für t2 = 9 s die Geschwindigkeit v2 = 2 m/s beträgt.
\[
\begin{gather}
a_m=\frac{2-1}{9-1} \\[5pt]
a_m=\frac{1}{8}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{a_m\approx 0,1\;\mathrm{m/s^2}}
\end{gather}
\]
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