Esercizio Risolto di Equilibrio Statico

Un uomo di massa pari a 70 kg attraversa un ponte di corda sopra un fiume, come mostrato in figura. Gli angoli che la corda forma con una linea orizzontale, nella posizione in cui si trova l’uomo, sono pari a 15° e 25°. Quali sono le forze di tensione che agiscono sulla corda?
Dati: cos 15° = 0,9659, sen 15° = 0,2419, cos 25° = 0,9063, sen 25° = 0,4226.

Dati del problema:

Massa dell’uomo: m = 70 kg;
Angolo 1 tra la corda e l’orizzontale: α₁ = 25°;
Angolo 2 tra la corda e l’orizzontale: α₂ = 15°;
Accelerazione di gravità: g = 9,8 m/s².

Schema del problema:

Per semplicità, consideriamo che tutta la forza peso dell’uomo sia applicata in un unico punto della corda (Figura 1-A).
Le forze che agiscono sul sistema sono la forza peso dell’uomo \( \vec P \), diretta verso il basso, e le tensioni nelle corde. La corda sul lato sinistro forma un angolo di 25° con l’orizzontale, questo è lo stesso angolo formato tra la forza di tensione 1, \( {\vec T}_1 \), e l’asse x. La corda sul lato destro forma un angolo di 15° con l’orizzontale; questo è lo stesso angolo formato tra la forza di tensione 2, \( {\vec T}_2 \), e l’asse x.

Figura 1

Disegniamo le forze in un sistema di assi cartesiani xy e scomponiamo le forze in queste direzioni (Figura 1-B). La forza peso ha solo la componente nella direzione y negativa. La forza di tensione 1 possiede una componente nella direzione x positiva e una componente nella direzione y negativa. La forza di tensione 2 possiede una componente nella direzione x positiva e una componente nella direzione y positiva.

Soluzione:

Il peso è dato da

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \end{gather} \]

il peso dell’uomo sarà

\[ \begin{gather} P=70\times 9,8 \\[5pt] P=686\;\mathrm N \end{gather} \]

Poiché il sistema è in equilibrio, la risultante delle forze che agiscono su di esso è uguale a zero.

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\sum \vec F=0} \end{gather} \]

direzione x: \( -{\vec T}_{1x}+{\vec T}_{2x}=0 \)

direzione y: \( -\vec P+{\vec T}_{1y}+{\vec T}_{2y}=0 \)

in modulo abbiamo

\[ \begin{gather} -T_1\cos 25°+T_2\cos 15°= 0 \\[5pt] -P-T_1\operatorname{sen}25°+T_2\operatorname{sen}15°= 0 \end{gather} \]

sostituendo i valori dati per il seno e il coseno e il peso calcolato sopra, queste equazioni formano un sistema di due equazioni con due incognite (T₁ e T₂).

\[ \begin{gather} \left\{ \begin{array}{l} -0,9063 T_1+0,9659 T_2=0 \tag{I} \\ -686-0,4226 T_1+0,2588 T_2=0 \end{array} \right. \end{gather} \]

dalla prima equazione del sistema (I) isoliamo il valore di T₁.

\[ \begin{gather} 0,9063 T_1=0,9659 T_2 \\[5pt] T_1=\frac{0,9659}{0,9063}T_2 \\[5pt] T_1=1,0669 T_2 \tag{II} \end{gather} \]

sostituendo l’equazione (II) nella seconda equazione del sistema (I), otteniamo il valore di T₂.

\[ \begin{gather} -686-0,4226\times 1,0669 T_2+0,2588T_2=0 \\[5pt] 0,4509 T_2+0,2588 T_2=686 \\[5pt] 0,7097 T_2=686 \\[5pt] T_2=\frac{686}{0,7097} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {T_2=966,6\;\mathrm N} \end{gather} \]

Sostituendo il valore trovato sopra nell’equazione (III), otteniamo il valore di T₁.

\[ \begin{gather} T_1=1,0669\times 966,6 \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {T_1=1031,3\;\mathrm N} \end{gather} \]

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