Un homme de masse égale à 70 kg traverse un pont de corde au-dessus d’une rivière, comme montré sur la figure. Les angles que la corde fait avec une ligne horizontale, à la position où se trouve l’homme, sont égaux à 15° et 25°. Quelles sont les forces de tension qui agissent dans la corde?
Données : cos 15° = 0,9659, sin 15° = 0,2419, cos 25° = 0,9063, sin 25° = 0,4226.

 

Données du problème:

• Masse de l’homme:    m = 70 kg;
• Angle 1 entre la corde et l’horizontale:    α₁ = 25°;
• Angle 2 entre la corde et l’horizontale:    α₂ = 15°;
• Accélération de la pesanteur:    g = 9,8 m/s².

Schéma du problème:

Par simplicité, nous considérons que toute la force poids de l’homme est appliquée en un seul point de la corde (Figure 1-A).
Les forces qui agissent sur le système sont la force poids de l’homme \( \vec P \) dirigée vers le bas, et les tensions dans les cordes. La corde du côté gauche fait un angle de 25° avec l’horizontale, c’est le même angle formé entre la force de tension 1, \( {\vec T}_1 \), et l’axe x. La corde du côté droit fait un angle de 15° avec l’horizontale, c’est le même angle formé entre la force de tension 2, \( {\vec T}_2 \), et l’axe x.

Nous dessinons les forces dans un système d’axes coordonnés xy et décomposons les forces suivant ces directions (Figure 1-B). La force poids possède seulement une composante dans la direction y négative. La force de tension 1 possède une composante dans la direction x positive et une composante dans la direction y négative. La force de tension 2 possède une composante dans la direction x positive et une composante dans la direction y positive.

Solution:

Le poids est donné par

le poids de l’homme sera

Comme le système est en équilibre, la résultante des forces qui agissent sur lui est égale à zéro.

direction x:    \( -{\vec T}_{1x}+{\vec T}_{2x}=0 \)

direction y:    \( -\vec P+{\vec T}_{1y}+{\vec T}_{2y}=0 \)

en module, nous avons

en remplaçant les valeurs données pour le sinus et le cosinus ainsi que le poids calculé ci-dessus, ces équations forment un système de deux équations à deux inconnues (T₁ e T₂).

de la première équation du système (I), nous isolons la valeur de T₁.

en remplaçant l’équation (II) dans la deuxième équation du système (I), nous obtenons la valeur de T₂.

En remplaçant la valeur trouvée ci-dessus dans l’équation (III), nous obtenons la valeur de T₁.