Exercício Resolvido de Equilíbrio Estático
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Um homem de massa igual a 70 kg atravessa uma ponte de corda sobre um rio, como mostrado na figura. Os ângulos que a corda faz com uma linha horizontal, na posição na qual o homem está, são iguais a 15° e 25°. Qual é o valor das forças de tensão que atuam na corda?
Dados: cos 15° = 0,9659, sen 15° = 0,2419, cos 25° = 0,9063, sen 25° = 0,4226.

 

Dados do problema:

  • Massa do homem:    m = 70 kg;
  • Ângulo 1 entre a corda e a horizontal:    α1 = 25°;
  • Ângulo 2 entre a corda e a horizontal:    α2 = 15°;
  • Aceleração da gravidade:    g = 9,8 m/s2.

Esquema do problema:

Por simplicidade, vamos considerar que toda a força peso do homem está aplicada a um único ponto da corda (Figura 1-A).
As forças que atuam no sistema são a força peso do homem \( \vec P \) que aponta para baixo, e as tensões nas cordas. A corda do lado esquerdo faz um ângulo de 25° com a horizontal, este é o mesmo ângulo formado entre a força de tensão 1, \( {\vec T}_1 \), e o eixo-x. A corda do lado direito faz um ângulo de 15° com a horizontal, este é o mesmo ângulo formado entre a força de tensão 2, \( {\vec T}_2 \), e o eixo-x.

Figura 1

Desenhamos as forças em um sistema de eixos coordenados xy e decompomos as forças nessas direções (Figura 1-B). A força peso tem apenas a componente na direção y negativo. A força de tensão 1 possui uma componente na direção x positivo e uma componente na direção y negativo. A força tensão 2 possui uma componente na direção x positivo e uma componente na direção y positivo.

Solução:

A força peso é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \end{gather} \]

a força peso do homem será

\[ \begin{gather} P=70\times 9,8 \\[5pt] P=686\;\mathrm N \end{gather} \]

Como o sistema está em equilíbrio, a resultante das forças que atuam sobre ele é igual a zero.

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\sum \vec F=0} \end{gather} \]

direção x:    \( -{\vec T}_{1x}+{\vec T}_{2x}=0 \)

direção y:    \( -\vec P+{\vec T}_{1y}+{\vec T}_{2y}=0 \)

em módulo temos

\[ \begin{gather} -T_1\cos 25°+T_2\cos 15°= 0 \\[5pt] -P-T_1\operatorname{sen}25°+T_2\operatorname{sen}15°= 0 \end{gather} \]

substituindo os valores dados para o seno e o cosseno e a força peso calculada acima, estas equações formam um sistema de duas equações a duas incógnitas (T1 e T2).

\[ \begin{gather} \left\{ \begin{array}{l} -0,9063 T_1+0,9659 T_2=0 \tag{I} \\ -686-0,4226 T_1+0,2588 T_2=0 \end{array} \right. \end{gather} \]

da primeira equação do sistema (I), isolamos o valor de T1.

\[ \begin{gather} 0,9063 T_1=0,9659 T_2 \\[5pt] T_1=\frac{0,9659}{0,9063}T_2 \\[5pt] T_1=1,0669 T_2 \tag{II} \end{gather} \]

substituindo a equação (II) na segunda equação do sistema (I), obtemos o valor de T2.

\[ \begin{gather} -686-0,4226\times 1,0669 T_2+0,2588T_2=0 \\[5pt] 0,4509 T_2+0,2588 T_2=686 \\[5pt] 0,7097 T_2=686 \\[5pt] T_2=\frac{686}{0,7097} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {T_2=966,6\;\mathrm N} \end{gather} \]

Substituindo o valor encontrado acima na equação (II), obtemos o valor de T1.

\[ \begin{gather} T_1=1,0669\times 966,6 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {T_1=1031,3\;\mathrm N} \end{gather} \]
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