Ein Mann mit einer Masse von 70 kg überquert eine Seilbrücke über einen Fluss, wie in der Abbildung gezeigt. Die Winkel, die das Seil mit einer horizontalen Linie an der Position des Mannes bildet, betragen 15° und 25°. Wie groß sind die Spannkräfte, die im Seil wirken?
Gegeben: cos 15° = 0,9659, sin 15° = 0,2419, cos 25° = 0,9063, sin 25° = 0,4226.

 

Gegebene Daten:

• Masse des Mannes:    m = 70 kg;
• Winkel 1 zwischen dem Seil und der Horizontalen:    α₁ = 25°;
• Winkel 2 zwischen dem Seil und der Horizontalen:    α₂ = 15°;
• Erdbeschleunigung:    g = 9,8 m/s².

Schema des Problems:

Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass die gesamte Gewichtskraft des Mannes in einem einzigen Punkt des Seils angreift (Abbildung 1-A).
Die auf das System wirkenden Kräfte sind die Gewichtskraft des Mannes \( \vec P \), die nach unten zeigt, sowie die Seilspannungen. Das Seil auf der linken Seite bildet mit der Horizontalen einen Winkel von 25°, dies ist derselbe Winkel zwischen der Zugkraft \( {\vec T}_1 \), und der x-Achse. Das Seil auf der rechten Seite bildet mit der Horizontalen einen Winkel von 15°, dies ist auch der Winkel der Zugkraft \( {\vec T}_2 \), und der x-Achse.

Wir zeichnen die Kräfte in ein kartesisches Koordinatensystem xy ein und zerlegen die Kräfte in diese Richtungen (Abbildung 1-B). Die Gewichtskraft besitzt nur eine Komponente in negativer y-Richtung. Die Zugkraft 1 besitzt eine Komponente in positiver x-Richtung und eine Komponente in negativer y-Richtung. Die Zugkraft 2 besitzt eine Komponente in positiver x-Richtung und eine Komponente in positiver y-Richtung.

Lösung:

Die Gewichtskraft ist gegeben durch

die Gewichtskraft des Mannes ist

Da sich das System im Gleichgewicht befindet, ist die Resultierende der auf es wirkenden Kräfte gleich null.

Richtung x:    \( -{\vec T}_{1x}+{\vec T}_{2x}=0 \)

Richtung y:    \( -{\vec F}_g+{\vec T}_{1y}+{\vec T}_{2y}=0 \)

im Betrag haben wir

durch Einsetzen der gegebenen Werte für den Sinus und den Kosinus sowie der oben berechneten Gewichtskraft bilden diese Gleichungen ein System von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten (T₁ und T₂).

aus der ersten Gleichung des Systems (I) isolieren wir den Wert von T₁.

durch Einsetzen der Gleichung (II) in die zweite Gleichung des Systems (I) erhalten wir den Wert von T₂.

Durch Einsetzen des oben gefundenen Wertes in die Gleichung (III) erhalten wir den Wert von T₁.