Ejercicio Resuelto sobre Equilibrio Estático
publicidad   

Un hombre de masa igual a 70 kg atraviesa un puente de cuerda sobre un río, como se muestra en la figura. Los ángulos que la cuerda forma con una línea horizontal, en la posición en la cual el hombre se encuentra, son iguales a 15° y 25°. ¿Cuáles son las fuerzas de tensión que actúan en la cuerda?
Datos: cos 15° = 0,9659, sen 15° = 0,2419, cos 25° = 0,9063, sen 25° = 0,4226.

 

Datos del problema:

  • Masa del hombre:    m = 70 kg;
  • Ángulo 1 entre la cuerda y la horizontal:    α1 = 25°;
  • Ángulo 2 entre la cuerda y la horizontal:    α2 = 15°;
  • Aceleración de la gravedad:    g = 9,8 m/s2.

Esquema del problema:

Por simplicidad, vamos a considerar que toda la fuerza peso del hombre está aplicada en un único punto de la cuerda (Figura 1-A).
Las fuerzas que actúan en el sistema son la fuerza peso del hombre \( \vec P \), que apunta hacia abajo, y las tensiones en las cuerdas. La cuerda del lado izquierdo forma un ángulo de 25° con la horizontal; este es el mismo ángulo formado entre la fuerza de tensión 1, \( {\vec T}_1 \), y el eje x. La cuerda del lado derecho forma un ángulo de 15° con la horizontal; este es el mismo ángulo formado entre la fuerza de tensión 2, \( {\vec T}_2 \), y el eje x.

Figura 1

Dibujamos las fuerzas en un sistema de ejes coordenados xy y descomponemos las fuerzas en esas direcciones (Figura 1-B). La fuerza peso tiene solo componente en la dirección y negativa. La fuerza de tensión 1 posee una componente en la dirección x positiva y una componente en la dirección y negativa. La fuerza de tensión 2 posee una componente en la dirección x positiva y una componente en la dirección y positiva.

Solución:

El peso está dado por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \end{gather} \]

el peso del hombre será

\[ \begin{gather} P=70\times 9,8 \\[5pt] P=686\;\mathrm N \end{gather} \]

Como el sistema está en equilibrio, la resultante de las fuerzas que actúan sobre él es igual a cero.

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\sum \vec F=0} \end{gather} \]

dirección x:    \( -{\vec T}_{1x}+{\vec T}_{2x}=0 \)

dirección y:    \( -\vec P+{\vec T}_{1y}+{\vec T}_{2y}=0 \)

en módulo tenemos

\[ \begin{gather} -T_1\cos 25°+T_2\cos 15°= 0 \\[5pt] -P-T_1\operatorname{sen}25°+T_2\operatorname{sen}15°= 0 \end{gather} \]

sustituyendo los valores dados para el seno y el coseno y la fuerza peso calculada anteriormente, estas ecuaciones forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (T1 e T2).

\[ \begin{gather} \left\{ \begin{array}{l} -0,9063 T_1+0,9659 T_2=0 \tag{I} \\ -686-0,4226 T_1+0,2588 T_2=0 \end{array} \right. \end{gather} \]

de la primera ecuación del sistema (I), aislamos el valor de T1.

\[ \begin{gather} 0,9063 T_1=0,9659 T_2 \\[5pt] T_1=\frac{0,9659}{0,9063}T_2 \\[5pt] T_1=1,0669 T_2 \tag{II} \end{gather} \]

sustituyendo la ecuación (II) en la segunda ecuación del sistema (I), obtenemos el valor de T2.

\[ \begin{gather} -686-0,4226\times 1,0669 T_2+0,2588T_2=0 \\[5pt] 0,4509 T_2+0,2588 T_2=686 \\[5pt] 0,7097 T_2=686 \\[5pt] T_2=\frac{686}{0,7097} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {T_2=966,6\;\mathrm N} \end{gather} \]

Sustituyendo el valor encontrado arriba en la ecuación (II), obtenemos el valor de T1.

\[ \begin{gather} T_1=1,0669\times 966,6 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {T_1=1031,3\;\mathrm N} \end{gather} \]
publicidad   

Creative Commons License
Fisicaexe - Physics Solved Problems by Elcio Brandani Mondadori is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License .