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FISICAEXE
Esercizio Risolto di Impulso, Quantità di Moto e Urti
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Due corpi, A e B identici e della stessa massa, si trovano su una superficie perfettamente liscia e orizzontale. Inizialmente il corpo A possiede una velocità v0 = 5 m/s e B è fermo. Il corpo A urta frontalmente B in un urto elastico. Dimostrare che in queste condizioni dopo l'urto le velocità dei corpi saranno scambiate.

Dati del problema:

  • Massa della sfera A: ma = m;
  • Massa della sfera B: mb = m;
  • Velocità iniziale della sfera A: v0a = 5 m/s;
  • Velocità iniziale della sfera B: v0b = 0 m/s;
  • Coefficiente di restituzione (urto elastico): e = 1.

Schema del problema:

Figura 1

Soluzione:

La quantità di moto di un corpo è data da

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {Q=mv} \end{gather} \]

Applicando il Principio di Conservazione della Quantità di Moto abbiamo che la quantità di moto iniziale è uguale alla quantità di moto finale

\[ \begin{gather} Q_i=Q_f \\[5pt] Q_{a i}+Q_{b i}=Q_{a f}+Q_{b f} \\[5pt] mv_{0 a}+mv_{0 b}=mv_a+mv_b \end{gather} \]

mettendo la massa, m, in evidenza da entrambi i lati dell'uguaglianza

\[ \begin{gather} \cancel m\left(v_{0 a}+v_{0 b}\right)=\cancel m\left(v_a+v_b\right) \end{gather} \]

sostituendo i dati del problema

\[ \begin{gather} v_{0 a}+v_{0 b}=v_a A+v_b \\[5pt] 5+0=v_a+v_b \\[5pt] v_a+v_b=5 \tag{I} \end{gather} \]

Il coefficiente di restituzione è dato da

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {e=-{\left[\frac{v_b-v_a}{v_{0 b}-v_{0 a}}\right]}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} 1=-{\left[\frac{v_b-v_a}{0-5}\right]} \\[5pt] -1=\frac{v_b-v_a}{-5} \\[5pt] (-1)\times(-5)=v_b-v_a \\[5pt] v_b-v_a=5 \tag{II} \end{gather} \]

Le equazioni (I) e (II) formano un sistema di due equazioni a due incognite (va e vb) e sommando le due equazioni

\[ \begin{gather} \frac{ \left\{ \begin{matrix} \phantom{\text{--}}v_a+v_b=5 \\ -v_a+v_b=5 \end{matrix} \right. } {0+2v_b=10} \\[5pt] v_b=\frac{10}{2} \\[5pt] v_b=5\;\mathrm{m/s} \end{gather} \]

sostituendo il valore vb trovato nella prima equazione del sistema

\[ \begin{gather} v_a+5=5 \\[5pt] v_a=5-5 \\[5pt] v_a=0 \end{gather} \]

Pertanto, come volevamo, va = 0 e vb = 5 m/s. I corpi hanno scambiato le velocità dopo l'urto.

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