Gelöste Aufgabe zu Impuls und Stöße

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FISICAEXE

Zwei identische Körper A und B mit gleicher Masse befinden sich auf einer vollkommen glatten und horizontalen Oberfläche. Anfangs besitzt der Körper A die Geschwindigkeit v₀ = 5 m/s, während B in Ruhe ist. Der Körper A stößt frontal mit B bei einem elastischen Stoß zusammen. Zeigen Sie, dass unter diesen Bedingungen nach dem Stoß die Geschwindigkeiten der Körper vertauscht sind.

Gegebene Daten:

Masse der Kugel A: m_a = m;
Masse der Kugel B: m_b = m;
Anfangsgeschwindigkeit der Kugel A: v_0a = 5 m/s;
Anfangsgeschwindigkeit der Kugel B: v_0b = 0 m/s;
Restitutionskoeffizient (elastischer Stoß): e = 1.

Schema des Problems:

Abb. 1

Lösung:

Der Impuls eines Körpers ist gegeben durch

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {Q=mv} \end{gather} \]

Durch Anwendung der Impulserhaltungssatz gilt, dass der Anfangsimpuls gleich dem Endimpuls ist.

\[ \begin{gather} Q_i=Q_f \\[5pt] Q_{a i}+Q_{b i}=Q_{a f}+Q_{b f} \\[5pt] mv_{0 a}+mv_{0 b}=mv_a+mv_b \end{gather} \]

indem wir die Masse m auf beiden Seiten der Gleichung ausklammern

\[ \begin{gather} \cancel m\left(v_{0 a}+v_{0 b}\right)=\cancel m\left(v_a+v_b\right) \end{gather} \]

durch Einsetzen der gegebenen Daten

\[ \begin{gather} v_{0 a}+v_{0 b}=v_a A+v_b \\[5pt] 5+0=v_a+v_b \\[5pt] v_a+v_b=5 \tag{I} \end{gather} \]

Der Restitutionskoeffizient ist gegeben durch

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {e=-{\left[\frac{v_b-v_a}{v_{0 b}-v_{0 a}}\right]}} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} 1=-{\left[\frac{v_b-v_a}{0-5}\right]} \\[5pt] -1=\frac{v_b-v_a}{-5} \\[5pt] (-1)\times(-5)=v_b-v_a \\[5pt] v_b-v_a=5 \tag{II} \end{gather} \]

Die Gleichungen (I) und (II) bilden ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten (v_a und v_b). Durch Addition der beiden Gleichungen

\[ \begin{gather} \frac{ \left\{ \begin{matrix} \phantom{\text{--}}v_a+v_b=5 \\ -v_a+v_b=5 \end{matrix} \right. } {0+2v_b=10} \\[5pt] v_b=\frac{10}{2} \\[5pt] v_b=5\;\mathrm{m/s} \end{gather} \]

durch Einsetzen des in der ersten Gleichung des Systems gefundenen Wertes von v_b

\[ \begin{gather} v_a+5=5 \\[5pt] v_a=5-5 \\[5pt] v_a=0 \end{gather} \]

Daher erhalten wir, wie zu zeigen war, v_a = 0 und v_b = 5 m/s. Die Körper haben nach dem Stoß ihre Geschwindigkeiten vertauscht.