Ejercicio Resuelto sobre Choques
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Dos cuerpos, A y B, idénticos y de igual masa, están sobre una superficie perfectamente lisa y horizontal. Inicialmente, el cuerpo A tiene una velocidad v0 = 5 m/s y B está en reposo. El cuerpo A choca frontalmente con B en una colisión elástica, demuestre que bajo estas condiciones después de la colisión las velocidades de los cuerpos se intercambiarán.


Datos del problema:
  • Masa de la esfera A:    mA = m;
  • Masa de la esfera B:    mB = m;
  • Velocidad inicial de la esfera A:    v0A = 5 m/s;
  • Velocidad inicial de la esfera B:    v0B = 0 m/s;
  • Coeficiente de restitución (colisión elástica):    e = 1.
Esquema del problema:

Figura 1

Solución

La cantidad de movimiento de un cuerpo es dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {p=mv} \end{gather} \]
Aplicando el Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento, tenemos que la cantidad de movimiento inicial es igual a la cantidad de movimiento final
\[ \begin{gather} p_{i}=p_{f}\\[5pt] p_{\small A i}+p_{\small B i}=p_{\small A f}+p_{\small B f}\\[5pt] mv_{0 \small A}+mv_{0 \small B}=mv_{\small A}+mv_{\small B} \end{gather} \]
factorizando la masa, m, en ambos lados de la igualdad
\[ \begin{gather} \cancel{m}\left(v_{0\small A}+v_{0\small B}\right)=\cancel{m}\left(v_{\small A}+v_{\small B}\right) \end{gather} \]
sustituyendo los datos del problema
\[ \begin{gather} v_{0\small A}+v_{0\small B}=v_{\small A}+v_{\small B}\\[5pt] 5+0=v_{\small A}+v_{\small B}\\[5pt] v_{\small A}+v_{\small B}=5 \tag{I} \end{gather} \]
El coeficiente de restitución está dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {e=-{\left[\frac{v_{\small B}-v_{\small A}}{v_{0\small B}-v_{0\small A}}\right]}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} 1=-{\left[\frac{v_{\small B}-v_{\small A}}{0-5}\right]}\\[5pt] -1=\frac{v_{\small B}-v_{\small A}}{-5}\\[5pt] (-1)\times(-5)=v_{\small B}-v_{\small A}\\[5pt] v_{\small B}-v_{\small A}=5 \tag{II} \end{gather} \]
Las ecuaciones (I) y (II) forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (vA t vB), y sumando las dos ecuaciones,
\[ \begin{gather} \frac{ \left\{ \begin{matrix} \phantom{\text{--}}v_{\small A}+v_{\small B}=5\\ -v_{\small A}+v_{\small B}=5 \end{matrix} \right. } {0+2v_{\small B}=10}\\[5pt] v_{\small B}=\frac{10}{2}\\[5pt] v_{\small B}=5\;\mathrm{m/s} \end{gather} \]
sustituyendo el valor de vB encontrado en la primera ecuación del sistema
\[ \begin{gather} v_{\small A}+5=5\\[5pt] v_{\small A}=5-5\\[5pt] v_{\small A}=0 \end{gather} \]
Por lo tanto, como queríamos vA = 0 y vB = 5 m/s. Los cuerpos intercambiaron velocidades después de la colisión.
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