Exercice Résolu sur les Chocs
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Deux corps, A et B, identiques et de même masse, se trouvent sur une surface parfaitement lisse et horizontale. Initialement, le corps A a une vitesse v0 = 5 m/s et B est au repos. Le corps A entre en collision frontale avec B dans une collision élastique, montrer que dans ces conditions après la collision, les vitesses des corps seront échangées.


Données du problème:
  • Masse de la sphère A:    mA = m;
  • Masse de la sphère B:    mB = m;
  • Masse de la sphère A:    v0A = 5 m/s;
  • Masse de la sphère B:    v0B = 0 m/s;
  • Coefficient de restitution (collision élastique):    e = 1.
Schéma du problème

Figure 1

Solution

La quantité de mouvement d'un corps est donnée par
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {p=mv} \end{gather} \]
En appliquant la Loi de Conservation de la Quantité de Mouvement, nous avons que la quantité de mouvement initiale est égale à la quantité de mouvement finale
\[ \begin{gather} p_{i}=p_{f}\\[5pt] p_{\small A i}+p_{\small B i}=p_{\small A f}+p_{\small B f}\\[5pt] mv_{0 \small A}+mv_{0 \small B}=mv_{\small A}+mv_{\small B} \end{gather} \]
en factorisant la masse, m, des deux côtés de l'égalité
\[ \begin{gather} \cancel{m}\left(v_{0\small A}+v_{0\small B}\right)=\cancel{m}\left(v_{\small A}+v_{\small B}\right) \end{gather} \]
en remplaçant les données du problème
\[ \begin{gather} v_{0\small A}+v_{0\small B}=v_{\small A}+v_{\small B}\\[5pt] 5+0=v_{\small A}+v_{\small B}\\[5pt] v_{\small A}+v_{\small B}=5 \tag{I} \end{gather} \]
Le coefficient de restitution est donné par
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {e=-{\left[\frac{v_{\small B}-v_{\small A}}{v_{0\small B}-v_{0\small A}}\right]}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} 1=-{\left[\frac{v_{\small B}-v_{\small A}}{0-5}\right]}\\[5pt] -1=\frac{v_{\small B}-v_{\small A}}{-5}\\[5pt] (-1)\times(-5)=v_{\small B}-v_{\small A}\\[5pt] v_{\small B}-v_{\small A}=5 \tag{II} \end{gather} \]
Les équations (I) et (II) forment un système de deux équations à deux inconnues (vA et vB) et en additionnant les deux équations
\[ \begin{gather} \frac{ \left\{ \begin{matrix} \phantom{\text{--}}v_{\small A}+v_{\small B}=5\\ -v_{\small A}+v_{\small B}=5 \end{matrix} \right. } {0+2v_{\small B}=10}\\[5pt] v_{\small B}=\frac{10}{2}\\[5pt] v_{\small B}=5\;\mathrm{m/s} \end{gather} \]
en substituant la valeur de vB trouvée dans la première équation du système
\[ \begin{gather} v_{\small A}+5=5\\[5pt] v_{\small A}=5-5\\[5pt] v_{\small A}=0 \end{gather} \]
Donc, comme nous le voulions, vA = 0 et vB = 5 m/s. Les corps ont échangé leurs vitesses après la collision.
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