Exercício Resolvido de Choques
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Dois corpos, A e B idênticos e de mesma massa, estão sobre uma superfície perfeitamente lisa e horizontal. Inicialmente o corpo A possui velocidade v0 = 5 m/s e B está em repouso. O corpo A choca-se com B frontalmente num choque elástico, mostre que nestas condições após o choque as velocidades dos corpos serão trocadas.

Dados do problema:

  • Massa da esfera A:    ma = m;
  • Massa da esfera B:    mb = m;
  • Velocidade inicial da esfera A:    v0a = 5 m/s;
  • Velocidade inicial da esfera B:    v0b = 0 m/s;
  • Coeficiente de restituição (choque elástico):    e = 1.

Esquema do problema:

Figura 1

Solução:

A quantidade de movimento de um corpo é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {Q=mv} \end{gather} \]

Aplicando o Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento temos que a quantidade de movimento inicial é igual à quantidade de movimento final

\[ \begin{gather} Q_i=Q_f \\[5pt] Q_{a i}+Q_{b i}=Q_{a f}+Q_{b f} \\[5pt] mv_{0 a}+mv_{0 b}=mv_a+mv_b \end{gather} \]

colocando a massa, m, em evidência de ambos os lados da igualdade

\[ \begin{gather} \cancel m\left(v_{0 a}+v_{0 b}\right)=\cancel m\left(v_a+v_b\right) \end{gather} \]

substituindo os dados do problema

\[ \begin{gather} v_{0 a}+v_{0 b}=v_a A+v_b \\[5pt] 5+0=v_a+v_b \\[5pt] v_a+v_b=5 \tag{I} \end{gather} \]

O coeficiente de restituição é dado por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {e=-{\left[\frac{v_b-v_a}{v_{0 b}-v_{0 a}}\right]}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} 1=-{\left[\frac{v_b-v_a}{0-5}\right]} \\[5pt] -1=\frac{v_b-v_a}{-5} \\[5pt] (-1)\times(-5)=v_b-v_a \\[5pt] v_b-v_a=5 \tag{II} \end{gather} \]

As equações (I) e (II) formam um sistema de duas equações a duas incógnitas (va e vb) e somando as duas equações

\[ \begin{gather} \frac{ \left\{ \begin{matrix} \phantom{\text{--}}v_a+v_b=5 \\ -v_a+v_b=5 \end{matrix} \right. } {0+2v_b=10} \\[5pt] v_b=\frac{10}{2} \\[5pt] v_b=5\;\mathrm{m/s} \end{gather} \]

substituindo o valor vb encontrado na primeira equação do sistema

\[ \begin{gather} v_a+5=5 \\[5pt] v_a=5-5 \\[5pt] v_a=0 \end{gather} \]

Portanto como queríamos va = 0 e vb = 5 m/s. Os corpos trocaram as velocidades após o choque.

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