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FISICAEXE
Esercizio Risolto di Impulso, Quantità di Moto e Urti
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Un corpo di massa 2 kg e velocità 4 m/s nella direzione orizzontale riceve l'impulso di una forza, in modo tale che la sua velocità viene modificata a 3 m/s nella direzione verticale. Sapendo che la forza ha agito sul corpo per un intervallo di tempo della durata di 1 ms, determinare:
a) L'impulso ricevuto dal corpo;
b) La forza a cui è stato sottoposto il corpo.

Dati del problema:

  • Massa del corpo: m = 2 kg;
  • Velocità iniziale del corpo: v1 = 4 m/s;
  • Velocità finale del corpo: v2 = 3 m/s;
  • Intervallo di tempo durante il quale ha agito la forza: Δt = 1 ms.

Schema del problema:

Figura 1

Soluzione:

Innanzitutto, dobbiamo convertire l'intervallo di tempo dato in millisecondi (ms) in secondi (s) usati nel Sistema Internazionale di Unità di Misura (SI)

\[ \begin{gather} \Delta t=1\;\mathrm{ms}=1\times 10^{-3}\;\mathrm{s}=0,001\;\mathrm{s} \end{gather} \]

a) Per il Teorema dell'Impulso, questo è dato dalla variazione della quantità di moto (calcolata vettorialmente)

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {\vec I=\Delta\vec Q={\vec Q}_f-{\vec Q}_i} \tag{I} \end{gather} \]

La quantità di moto, in modulo, è data da

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {Q=mv} \tag{II} \end{gather} \]

applicando l'equazione (II) alle situazioni iniziale e finale

\[ \begin{gather} Q_1=mv_1 \\[5pt] Q_1=2\times 4 \\[5pt] Q_1=8\;\mathrm{kg.m/s} \\[10pt] Q_2=mv_2 \\[5pt] Q_2=2\times 3 \\[5pt] Q_2=6\;\mathrm{kg.m/s} \end{gather} \]
L'equazione (I) può essere rappresentata come nella Figura 2, e il modulo dell'impulso (\( |\vec I|=I \)) può essere calcolato mediante il Teorema di Pitagora
\[ \begin{gather} I^2=Q_1^2+Q_2^2 \\[5pt] I^2=8^2+6^2 \\[5pt] I^2=64+36 \\[5pt] I^2=100 \\[5pt] I=\sqrt{100\;} \\[5pt] I=10\;\mathrm{kg.m/s}=10\;\mathrm{N.s} \end{gather} \]
Figura 2

L'angolo θ formato dal vettore impulso con l'orizzontale sarà

\[ \begin{gather} \operatorname{tg}\theta =\frac{\text{cateto opposto}}{\text{cateto adiacente}}=\frac{Q_2}{Q_1} \\[5pt] \operatorname{tg}\theta=\frac{6}{8} \\[5pt] \operatorname{tg}\theta =0,75 \\[5pt] \theta=\operatorname{arctg}0,75 \\[5pt] \theta \approx 37° \end{gather} \]
  • Modulo: 10 N.s;
  • Direzione: formando un angolo di 37º con l'orizzontale;
  • Verso: verso sinistra.

b) La forza che ha agito sul corpo è data da

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {\vec I=\vec F\Delta t} \end{gather} \]

in modulo, la forza sarà

\[ \begin{gather} I=F\Delta t \\[5pt] F=\frac{I}{\Delta t} \\[5pt] F=\frac{10}{1\times 10^{-3}} \\[5pt] F=10\times 10^{3} \\[5pt] F=10000\;\mathrm N \end{gather} \]
Figura 3

La forza e l'impulso hanno la stessa direzione e lo stesso verso (Figura 3)

  • Modulo: 10 000 N;
  • Direzione: formando un angolo di 37º con l'orizzontale;
  • Verso: verso sinistra.
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