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FISICAEXE
Gelöste Aufgabe zu Impuls und Stöße
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Ein Körper mit einer Masse von 2 kg und einer Geschwindigkeit von 4 m/s in horizontaler Richtung erfährt den Kraftstoß einer Kraft, sodass seine Geschwindigkeit auf 3 m/s in vertikaler Richtung geändert wird. In Kenntnis dessen, dass die Kraft während eines Zeitintervalls von 1 ms auf den Körper einwirkte, bestimmen Sie:
a) den vom Körper erhaltenen Kraftstoß;
b) die Kraft, der der Körper ausgesetzt war.

Gegebene Daten:

  • Masse des Körpers: m = 2 kg;
  • Anfangsgeschwindigkeit des Körpers: v1 = 4 m/s;
  • Endgeschwindigkeit des Körpers: v2 = 3 m/s;
  • Zeitintervall, während dessen die Kraft wirkte: Δt = 1 ms.

Schema des Problems:

Abb. 1

Lösung:

Zuerst müssen wir das angegebene Zeitintervall in Millisekunden (ms) in Sekunden (s) umrechnen, wie es im Internationalen Einheitensystem (SI) üblich ist.

\[ \begin{gather} \Delta t=1\;\mathrm{ms}=1\times 10^{-3}\;\mathrm{s}=0,001\;\mathrm{s} \end{gather} \]

a) Nach dem Impulserhaltungssatz ist dieser durch die Änderung des Impulses gegeben (vektoriell berechnet).

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {\vec I=\Delta\vec Q={\vec Q}_f-{\vec Q}_i} \tag{I} \end{gather} \]

Der Betrag des Impulses ist gegeben durch

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {Q=mv} \tag{II} \end{gather} \]

durch Einsetzen der Gleichung (II) für die Anfangs- und die Endsituation

\[ \begin{gather} Q_1=mv_1 \\[5pt] Q_1=2\times 4 \\[5pt] Q_1=8\;\mathrm{kg.m/s} \\[10pt] Q_2=mv_2 \\[5pt] Q_2=2\times 3 \\[5pt] Q_2=6\;\mathrm{kg.m/s} \end{gather} \]
Die Gleichung (I) kann wie in Abbildung 2 dargestellt werden, und der Betrag des Kraftstoßes (\( |\vec I|=I \)) kann mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnet werden.
\[ \begin{gather} I^2=Q_1^2+Q_2^2 \\[5pt] I^2=8^2+6^2 \\[5pt] I^2=64+36 \\[5pt] I^2=100 \\[5pt] I=\sqrt{100\;} \\[5pt] I=10\;\mathrm{kg.m/s}=10\;\mathrm{N.s} \end{gather} \]
Abb. 2

Der Winkel θ, den der Kraftstoßvektor mit der Horizontalen bildet, ist

\[ \begin{gather} \tan\theta =\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}=\frac{Q_2}{Q_1} \\[5pt] \tan\theta=\frac{6}{8} \\[5pt] \tan\theta =0,75 \\[5pt] \theta=\arctan 0,75 \\[5pt] \theta \approx 37° \end{gather} \]
  • Betrag: 10 N.s;
  • Richtung: einen Winkel von 37° mit der Horizontalen bildend nach links.

b) Die Kraft, die auf den Körper wirkte, ist gegeben durch

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {\vec I=\vec F\Delta t} \end{gather} \]

der Betrag der Kraft ist

\[ \begin{gather} I=F\Delta t \\[5pt] F=\frac{I}{\Delta t} \\[5pt] F=\frac{10}{1\times 10^{-3}} \\[5pt] F=10\times 10^{3} \\[5pt] F=10000\;\mathrm N \end{gather} \]
Abb. 3

Kraft und Kraftstoß haben dieselbe Richtung (Abbildung 3).

  • Betrag: 10 000 N;
  • Richtung: einen Winkel von 37° mit der Horizontalen bildend nach links.
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