Exercice Résolu sur les Impulsion
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Un objet de masse 2 kg et une vitesse de 4 m/s dans la direction horizontale reçoit l'impulsion d'une force, de sorte que sa vitesse est modifiée à 3 m/s dans la direction verticale. Sachant que la force a agi sur l'objet pendant un intervalle de temps de 1 ms, déterminer:
a) L'impulsion reçue par l'objet;
b) La force à laquelle l'objet a été soumis.


Données du problème:
  • Masse du corps:    m = 2 kg;
  • Vitesse initiale du corps:    v1 = 4 m/s;
  • Vitesse finale du corps:    v2 = 3 m/s;
  • Intervalle de temps pendant lequel la force a agi:    Δt = 1 ms.
Schéma du problème:

Figure 1

Solution

Premièrement, convertissons l'intervalle de temps donné en millisecondes (ms) en secondes (s) utilisant le Système International d'Unités (SI)
\[ \begin{gather} \Delta t=1\;\mathrm{ms}=1\times 10^{-3}\;\mathrm{s}=0,001\;\mathrm{s} \end{gather} \]
a) Par le Théorème de l'Impulsion, celui-ci est donné par la variation de la quantité de mouvement (calculée vectoriellement)
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec{J}=\Delta \vec{p}={\vec{p}}_{f}-{\vec{p}}_{i}} \tag{I} \end{gather} \]
La quantité de mouvement, en module, est donnée par
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {p=mv} \tag{II} \end{gather} \]
en appliquant l'équation (II) pour les situations initiale et finale
\[ \begin{gather} p_{1}=mv_{1}\\[5pt] p_{1}=2\times 4\\[5pt] p_{1}=8\;\mathrm{kg.m/s}\\[10pt] p_{2}=mv_{2}\\[5pt] p_{2}=2\times 3\\[5pt] p_{2}=6\;\mathrm{kg.m/s} \end{gather} \]
L'équation (I) peut être représentée comme indiqué dans la Figure 2, et le module de l'impulsion (\( |\vec{J}|=J \)) peut être calculé en utilisant le Théorème de Pythagore
\[ \begin{gather} J^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}\\[5pt] J^{2}=8^{2}+6^{2}\\[5pt] J^{2}=64+36\\[5pt] J^{2}=100\\[5pt] J=\sqrt{100\;}\\[5pt] J=10\;\mathrm{kg.m/s}=10\;\mathrm{N.s} \end{gather} \]

Figure 2

L'angle θ que le vecteur impulsion forme avec l'horizontale sera
\[ \begin{gather} \tan \theta =\frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}=\frac{p_{2}}{p_{1}}\\[5pt] \tan \theta=\frac{6}{8}\\[5pt] \tan \theta =0,75\\[5pt] \theta=\operatorname{arctg}0,75\\[5pt] \theta \simeq 37° \end{gather} \]
  • Intensité: 10 N.s;
  • Direction: formant un angle de 37º avec l'horizontal;
  • Sens: vers la gauche.

b) La force qui a agi sur l'objet est donnée par
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec{J}=\vec{F}\Delta t} \end{gather} \]
en module, la force sera de
\[ \begin{gather} J=F\Delta t\\[5pt] F=\frac{J}{\Delta t}\\[5pt] F=\frac{10}{1\times 10^{-3}}\\[5pt] F=10\times 10^{3}\\[5pt] F=10000\;\mathrm{N} \end{gather} \]
Figure 3

La force et l'impulsion ont la même direction et le même sens (Figure 3)
  • Intensité: 10 000 N;
  • Direction: formant un angle de 37º avec l'horizontale;
  • Sens: vers la gauche.
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