Ejercicio Resuelto sobre Impulso
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Un objeto de masa 2 kg y velocidad 4 m/s en dirección horizontal recibe el impulso de una fuerza, de modo que su velocidad se altera a 3 m/s en dirección vertical. Sabiendo que la fuerza actuó sobre el objeto en un intervalo de tiempo que duró 1 ms, determina:
a) El impulso recibido por el objeto;
b) La fuerza a la que fue sometido el objeto.


Datos del problema:
  • Masa del cuerpo:    m = 2 kg;
  • Velocidad inicial del cuerpo:    v1 = 4 m/s;
  • Velocidad final del cuerpo:    v2 = 3 m/s;
  • Intervalo de tiempo en el que la fuerza actuó:    Δt = 1 ms.
Esquema del problema:

Figura 1

Solución

En primer lugar, vamos a convertir el intervalo de tiempo dado de milisegundos (ms) a segundos (s), utilizado en el Sistema Internacional de Unidades (SI)
\[ \begin{gather} \Delta t=1\;\mathrm{ms}=1\times 10^{-3}\;\mathrm{s}=0,001\;\mathrm{s} \end{gather} \]
a) Por el Teorema del Ompulso-Cantidad de Movimiento, este es dado por la variación de la cantidad de movimiento (calculada vectorialmente)
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec{I}=\Delta \vec{p}={\vec{p}}_{f}-{\vec{p}}_{i}} \tag{I} \end{gather} \]
La cantidad de movimiento, en módulo, está dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {p=mv} \tag{II} \end{gather} \]
aplicando la ecuación (II) para las situaciones inicial y final
\[ \begin{gather} p_{1}=mv_{1}\\[5pt] p_{1}=2\times 4\\[5pt] p_{1}=8\;\mathrm{kg.m/s}\\[10pt] p_{2}=mv_{2}\\[5pt] p_{2}=2\times 3\\[5pt] p_{2}=6\;\mathrm{kg.m/s} \end{gather} \]
La ecuación (I) puede representarse como se muestra en la Figura 2, y el módulo del impulso (\( |\vec{I}|=I \)) puede calcularse utilizando el Teorema de Pitágoras
\[ \begin{gather} I^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}\\[5pt] I^{2}=8^{2}+6^{2}\\[5pt] I^{2}=64+36\\[5pt] I^{2}=100\\[5pt] I=\sqrt{100\;}\\[5pt] I=10\;\mathrm{kg.m/s}=10\;\mathrm{N.s} \end{gather} \]

Figura 2

El ángulo θ que el vector impulso forma con la horizontal será
\[ \begin{gather} \operatorname{tg}\theta =\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}}=\frac{p_{2}}{p_{1}}\\[5pt] \operatorname{tg}\theta=\frac{6}{8}\\[5pt] \operatorname{tg}\theta =0,75\\[5pt] \theta=\operatorname{arctg}0,75\\[5pt] \theta \simeq 37° \end{gather} \]
  • Intensidad: 10 N.s;
  • Dirección: formando un ángulo de 37º con la horizontal;
  • Sentido: hacia la izquierda.

b) La fuerza que actuó sobre el objeto está dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec{I}=\vec{F}\Delta t} \end{gather} \]
en módulo, la fuerza será de
\[ \begin{gather} I=F\Delta t\\[5pt] F=\frac{I}{\Delta t}\\[5pt] F=\frac{10}{1\times 10^{-3}}\\[5pt] F=10\times 10^{3}\\[5pt] F=10000\;\mathrm{N} \end{gather} \]
Figura 3

La fuerza y el impulso tienen la misma dirección y sentido (Figura 3)
  • Intensidad: 10 000 N;
  • Dirección: formando un ángulo de 37º con la horizontal;
  • Sentido: hacia la izquierda.
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