Die Bewegung eines Körpers wird durch das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm beschrieben, wie in der Abbildung dargestellt. Bestimmen Sie:
a) Die Beschleunigung des Körpers;
b) Schreiben Sie die Gleichung der Geschwindigkeit als Funktion der Zeit auf;
c) Welchen Weg legt der Körper zwischen 3 s und 7 s zurück?

Lösung:

a) Wir nehmen zwei Punkte des Diagramms, (x₁, y₁) = (6, 2)   und   (x₂, y₂) = (0, 14). Die Beschleunigung des Körpers wird in einem Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm (v × t) durch die Steigung der Geraden gegeben (Abbildung 1).

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {a=\tan\alpha=-\tan\beta=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} a=\frac{14-2}{0-6} \\[5pt] a=\frac{12}{-6} \end{gather} \]

Abb. 1

b) Die Gerade stellt den Graphen einer linearen Funktion des Typs \( y=ax+b \) dar. Vergleicht man sie mit der Funktion für die Geschwindigkeit bei einer Gleichmäßig Beschleunigten Geradlinigen Bewegung, können wir folgende Zuordnungen vornehmen

der Koeffizient a wurde im vorherigen Punkt bestimmt und entspricht der Beschleunigung a = −2 m/s², und der Wert von b entspricht der Anfangsgeschwindigkeit des Körpers, die im Diagramm dort abgelesen wird, wo die Gerade die y-Achse schneidet, und zwar als v₀ = 14 m. Die Gleichung der Geschwindigkeit als Funktion der Zeit lautet somit

c) Zunächst müssen wir die Geschwindigkeiten des Körpers zu den Zeitpunkten 3 s und 7 s bestimmen, indem wir die im vorherigen Punkt erhaltene Gleichung für die Geschwindigkeit verwenden.

• Für t = 3 s

• Für t = 7 s

In einem Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm v × t ist der zurückgelegte Weg numerisch gleich der Fläche unter der Kurve (Abbildung 2). Die Fläche eines Dreiecks ist gegeben durch

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {A=\frac{Bh}{2}} \end{gather} \]

der zurückgelegte Weg beträgt

\[ \begin{gather} \Delta S\;\overset{\mathrm N}{=}\;A=\frac{(7-3)\times \cancelto{4}{8}}{\cancel 2} \\[5pt] \Delta S=4\times 4 \end{gather} \]

Abb. 2