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FISICAEXE
Gelöste Aufgabe zur eindimensionalen Bewegung
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Ein Auto bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit von 200 km/h auf einer geradlinigen Straße. In dem Moment, in dem dieses Auto an einem anderen Auto vorbeifährt, das zunächst an einer Tankstelle steht, beginnt dieses sich mit einer konstanten Beschleunigung von 4,5 m/s2 zu bewegen, bis es eine Geschwindigkeit von 200 km/h erreicht. Bestimmen Sie:
a) Wie groß ist das Zeitintervall, bis das Auto, das von der Tankstelle losfährt, eine Geschwindigkeit von 200 km/h erreicht?
b) In welcher Entfernung voneinander befinden sich die beiden Autos, wenn ihre Geschwindigkeiten gleich sind?

Gegebene Daten:

  • Geschwindigkeit des Autos A: va = 200 km/h;
  • Anfangsgeschwindigkeit des Autos B: v0b = 0;
  • Endgeschwindigkeit des Autos B: vb = 200 km/h;
  • Beschleunigung des Autos B: ab = 4,5 m/s2.

Schema des Problems:

Abb. 1

Lösung:

Zuerst müssen wir die im Problem angegebenen Geschwindigkeiten von Kilometern pro Stunde (km/h) in Meter pro Sekunde (m/s) umrechnen, wie es im Internationalen Einheitensystem (SI) üblich ist.

\[ \begin{gather} v_a=v_b=200\frac{\mathrm{\cancel{km}}}{\mathrm{\cancel h}}\times\frac{1000\;\mathrm m}{1\;\mathrm{\cancel{km}}}\times\frac{1\;\mathrm{\cancel h}}{3600\;\mathrm s}=\frac{200}{3,6}\;\frac{\mathrm m}{\mathrm s}=55,6\;\mathrm{m/s} \end{gather} \]

a) Die Gleichung der Geschwindigkeit als Funktion der Zeit ist gegeben durch

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {v=v_0+a t} \end{gather} \]

Für das Auto B:

\[ \begin{gather} v_b=v_{0 b}+a_bt \\[5pt] 55,6=0+4,5t \\[5pt] t=\frac{55,6}{4,5} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {t\approx 12,4\;\mathrm s} \end{gather} \]

b) Das Auto A bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit und befindet sich in einer Gleichförmigen Geradlinigen Bewegung. Die Gleichung der Position als Funktion der Zeit ist gegeben durch

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {S=S_0+vt} \end{gather} \]

Durch Einsetzen dieser Gleichung unter Verwendung der Daten des Autos A und des im Punkt (a) ermittelten Zeitintervalls

\[ \begin{gather} S_a=S_{0 a}+v_at \\[5pt] S_a=0+55,6\times 12,4 \\[5pt] S_a\approx 689,4\;\mathrm m \end{gather} \]

Das Auto B bewegt sich mit konstanter Beschleunigung und befindet sich in einer Gleichmäßig Beschleunigten Geradlinigen Bewegung. Die Gleichung der Position als Funktion der Zeit ist gegeben durch

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {S=S_0+v_0t+\frac{a}{2}t^2} \end{gather} \]

durch Einsetzen dieser Gleichung unter Verwendung der Daten des Autos B und des im Punkt (a) ermittelten Zeitintervalls

\[ \begin{gather} S_b=S_{0 b}+v_{0 b}t+\frac{a_b}{2}t^2 \\[5pt] S_b=0+0t+\frac{4,5}{2}\times 12,4^2 \\[5pt] S_b=346\;\mathrm m \end{gather} \]

Der Abstand zwischen den Autos ist gegeben durch

\[ \begin{gather} \Delta S=|S_a-S_b| \\[5pt] \Delta S=|689,4-346| \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {\Delta S=343,4\;\mathrm m} \end{gather} \]
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