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FISICAEXE
Exercice Résolu sur les Mouvement Unidimensionnel
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Un véhicule se déplace sur une route rectiligne à une vitesse constante de 200 km/h. Au moment où ce véhicule dépasse une autre voiture, initialement arrêtée à une station-service, celle-ci commence à se déplacer avec une accélération constante de 4,5 m/s2 jusqu'à atteindre la vitesse de 200 km/h. Déterminer:
a) Quel est l'intervalle de temps écoulé avant que la voiture qui quitte la station-service atteigne la vitesse de 200 km/h?
b) À quelle distance se trouve une voiture de l'autre lorsque leurs vitesses sont égales.

Données du problème:

  • Vitesse de la voiture A: vA = 200 km/h;
  • Vitesse initiale de la voiture B: v0B = 0;
  • Vitesse finale de la voiture B: vB = 200 km/h;
  • Vitesse finale de la voiture B: aB = 4,5 m/s2.

Schéma du problème:

Figure 1

Solution:

Premièrement, nous allons convertir les vitesses des voitures données en kilomètres par heure (km/h) en mètres par seconde (m/s), utilisant le Système International d'Unités (SI)

\[ \begin{gather} v_{\small A}=v_{\small B}=200\frac{\mathrm{\cancel{km}}}{\cancel{\mathrm h}}\times\frac{1000\;\mathrm m}{1\;\mathrm{\cancel{km}}}\times\frac{1\;\cancel{\mathrm h}}{3600\;\mathrm s}=\frac{200}{3,6}\;\frac{\mathrm m}{\mathrm s}=55,6\;\mathrm{m/s} \end{gather} \]

a) La équation horaire de la vitesse est donnée par

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {v=v_0+a t} \end{gather} \]

Pour la voiture B:

\[ \begin{gather} v_{\small B}=v_{0 B}+a_{\small B}t \\[5pt] 55,6=0+4,5t \\[5pt] t=\frac{55,6}{4,5} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {t\approx 12,4\;\mathrm s} \end{gather} \]

b) La voiture A se déplace à vitesse constante, elle est en Mouvement Rectiligne Uniforme, la équation horaire de ce mouvement est donnée par

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {S=S_0+vt} \end{gather} \]

en appliquant cette équation, en utilisant les données de la voiture A et l'intervalle de temps trouvé dans l'article (a)

\[ \begin{gather} S_{\small A}=S_{0\small A}+v_{\small A}t \\[5pt] S_{\small A}=0+55,6\times 12,4 \\[5pt] S_{\small A}\approx 689,4\;\mathrm m \end{gather} \]

La voiture B se déplace avec une accélération constante, elle est en Mouvement Rectiligne Uniformément Varié, la équation horaire de ce mouvement est donnée par

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {S=S_0+v_0t+\frac{a}{2}t^2} \end{gather} \]

en appliquant cette équation, en utilisant les données de la voiture B et l'intervalle de temps trouvé dans l'article (a)

\[ \begin{gather} S_{\small B}=S_{0\small B}+v_{0\small B}t+\frac{a_{\small B}}{2}t^2 \\[5pt] S_{\small B}=0+0t+\frac{4,5}{2}\times 12,4^2 \\[5pt] S_{\small B}=346\;\mathrm m \end{gather} \]

La distance entre les voitures sera donnée par

\[ \begin{gather} \Delta S=|S_{\small A}-S_{\small B}| \\[5pt] \Delta S=|689,4-346| \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {\Delta S=343,4\;\mathrm m} \end{gather} \]
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