Gelöste Aufgabe zur elektrischen Kraft

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Zwei punktförmige, positive elektrische Ladungen, von denen eine das Dreifache der anderen ist, stoßen sich im Vakuum mit einer Kraft von 2,7 N ab, wenn der Abstand zwischen ihnen 10 cm beträgt. Bestimme die kleinere der beiden Ladungen.
Coulomb-Konstante im Vakuum \( k_e=9\times 10^9\;\mathrm{\frac{N.m^2}{C^2}} \).

Gegebene Daten:

Ladung 1: q₁ = Q;
Ladung 2: q₂ = 3Q;
Elektrische Abstoßungskraft zwischen den Ladungen: F_E = 2,7 N;
Abstand zwischen den Ladungen: d = 10 cm;
Coulomb-Konstante im Vakuum: \( k_e=9\times 10^9\;\mathrm{\frac{N.m^2}{C^2}} \).

Schema des Problems:

Die Kraft F_E12 ist die Abstoßungskraft auf Kugel 1 durch Kugel 2, die Kraft F_E21 ist die Abstoßungskraft auf Kugel 2 durch Kugel 1. Der Betrag dieser Kräfte ist gleich F_E (Abbildung 1).

Abb. 1

Lösung:

Zuerst muss der angegebene Abstand von Zentimetern (cm) in Meter (m) umgerechnet werden, wie es im Internationalen Einheitensystem (SI) verwendet wird.

\[ \begin{gather} d=10\;\mathrm{\cancel{cm}}\times\frac{1\;\mathrm m}{100\;\mathrm{\cancel{cm}}}=0,01\;\mathrm m=1\times10^{-2}\;\mathrm m \end{gather} \]

Wendet man das Coulomb-Gesetz an, ergibt sich der Betrag der elektrischen Kraft aus

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {F_{\small E}=k_e\frac{|\;q_1\;||\;q_2\;|}{r^2}} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} F_{\small E}=k_e\frac{|\;Q\;||\;3Q\;|}{d^2} \\[5pt] 3Q^2=\frac{F_{\small E}d^2}{k_e} \\[5pt] Q=\sqrt{\frac{F_{\small E}d^2}{3k_e}} \\[5pt] Q=\sqrt{\frac{2,7\times 1\times 10^{-2}}{3\times 9\times 10^9}} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {Q=1\times 10^{-6}\;\mathrm C} \end{gather} \]

Anmerkung: Wenn die kleinere Ladung q₁ = 1×10⁻⁶ C beträgt, dann hat die größere den Wert q₂ = 3×1×10⁻⁶ = 3×10⁻⁶ C.