Esercizio Risolto di Condensatori

Si utilizzano 12 condensatori uguali di valore C per costruire gli spigoli di un cubo, come indicato nella figura. Calcolare il condensatore equivalente tra i punti A e G che formano una delle diagonali principali del cubo.

Soluzione:

Adottiamo che i condensatori siano già carichi, trascurando il transitorio durante il tempo di carica dei condensatori.

Il punto A è un nodo del circuito, la differenza di potenziale tra i punti A e B, A e D, A ed E è la stessa, pertanto i punti B, D ed E rappresentano uno stesso punto del circuito, cioè \( B\equiv D\equiv E \). I tre condensatori “partono” dal punto comune A e “arrivano” al punto comune \( B\equiv D\equiv E \), quindi questi tre condensatori sono in parallelo (Figura 1).

Figura 1

I tre condensatori posti tra i punti K e G, F e G, H e G sono anch’essi sottoposti alla stessa differenza di potenziale. I punti K, F e H rappresentano quindi uno stesso punto del circuito, cioè \( K\equiv F\equiv H \). I condensatori “partono” dal punto comune \( K\equiv F\equiv H \) e “arrivano” al punto comune G: anche questi sono in parallelo (Figura 2).

Figura 2

Gli altri condensatori sono tutti collegati tra i punti comuni \( B\equiv D\equiv E \) e \( K\equiv F\equiv H \), sono tutti in parallelo (Figura 3).

Figura 3

Il circuito a cubo è equivalente a un circuito piano formato da tre condensatori in parallelo, in serie con sei condensatori in parallelo e in serie con altri tre condensatori in parallelo (Figura 4).

Figura 4

Indichiamo con C₁ il condensatore equivalente tra i punti A e \( B\equiv D\equiv E \) e con C₃ il condensatore equivalente tra i punti \( K\equiv F\equiv H \) e G, poiché queste parti del circuito sono uguali, risulta C₁ = C₃. L’equazione per determinare il condensatore equivalente di un’associazione di n condensatori uguali collegati in parallelo è

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {C_{eq}=nC} \end{gather} \]

per n = 3

\[ \begin{gather} C_1=C_3=3C \end{gather} \]

Osservazione: Si potrebbe anche determinare il condensatore equivalente applicando l’equazione general e per l’associazione di condensatori in parallelo.

\[ \begin{gather} C_{eq}=\sum_{i=1}^nC_{i} \\[5pt] C_1=C_3=C+C+C \\[5pt] C_1=C_3=3C \end{gather} \]

Tra i punti \( B\equiv D\equiv E \) e \( K\equiv F\equiv H \) abbiamo sei condensatori uguali in parallelo, indichiamo con C₂, il condensatore equivalente tra questi punti, applicando nuovamente l’equazione per l’associazione in parallelo di condensatori di uguale valore con n=6.

\[ \begin{gather} C_2=6C \end{gather} \]

Osservazione: Oppure applicando l’equazione generale per l’associazione di condensatori in parallelo.

\[ \begin{gather} C_2=C+C+C+C+C+C \\[5pt] C_2=6C \end{gather} \]

Così, il circuito si riduce al seguente

Figura 5

Il condensatore equivalente del circuito, C_eq, sarà la combinazione in serie dei condensatori

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\frac{1}{C_{eq}}=\sum_{i=1}^n{\frac{1}{C_i}}} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \frac{1}{C_{eq}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\frac{1}{C_3} \\[5pt] \frac{1}{C_{eq}}=\frac{1}{3C}+\frac{1}{6C}+\frac{1}{3C} \end{gather} \]

il fattore comune tra 3C e 6C è 6C.

\[ \begin{gather} \frac{1}{C_{eq}}=\frac{2+1+2}{6C} \\[5pt] \frac{1}{C_{eq}}=\frac{5}{6C} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {C_{eq}=\frac{6C}{5}} \end{gather} \]

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