Es werden 12 gleiche Kondensatoren mit dem Wert C verwendet, um die Kanten eines Würfels zu bilden, wie in der Abbildung gezeigt. Bestimmen Sie die Ersatzkapazität zwischen den Punkten A und G, die eine der Hauptdiagonalen des Würfels bilden.

Lösung:

Wir nehmen an, dass die Kondensatoren bereits geladen sind, und vernachlässigen den Einschwingvorgang während der Ladezeit der Kondensatoren.

Der Punkt A ist ein Knoten des Stromkreises. Der Spannungsabfall zwischen den Punkten A und B, A und D sowie A und E ist gleich, daher stellen die Punkte B, D und E denselben Punkt im Stromkreis dar, \( B\equiv D\equiv E \). Die drei Kondensatoren "gehen" vom gemeinsamen Punkt A aus und "kommen" am gemeinsamen Punkt \( B\equiv D\equiv E \) an, daher sind diese drei Kondensatoren parallel geschaltet (Abbildung 1).

Abb. 1

Die drei Kondensatoren zwischen den Punkten K und G, F und G sowie H und G stehen ebenfalls unter derselben Potentialdifferenz. Die Punkte K, F und H stellen somit ebenfalls denselben Punkt im Stromkreis dar, \( K\equiv F\equiv H \). Die Kondensatoren "gehen" vom gemeinsamen Punkt \( K\equiv F\equiv H \) aus und "kommen" am gemeinsamen Punkt G an, auch diese sind parallel geschaltet (Abbildung 2).

Abb. 2

Die übrigen Kondensatoren sind alle zwischen den gemeinsamen Punkten \( B\equiv D\equiv E \) und \( K\equiv F\equiv H \) angeordnet, sie sind alle parallel geschaltet (Abbildung 3).

Abb. 3

Der würfelförmige Stromkreis ist äquivalent zu einem ebenen Stromkreis, der aus drei parallel geschalteten Kondensatoren besteht, in Reihe mit sechs parallel geschalteten Kondensatoren und wiederum in Reihe mit drei weiteren parallel geschalteten Kondensatoren (Abbildung 4).

Abb. 4

Wir nennen C₁ die Ersatzkapazität zwischen den Punkten A und \( B\equiv D\equiv E \) und C₃ die Ersatzkapazität zwischen den Punkten \( K\equiv F\equiv H \) und G. Da diese Teile des Stromkreises gleich sind, gilt C₁ = C₃. Die Gleichung zur Bestimmung der Ersatzkapazität einer Parallelschaltung von n gleichen Kondensatoren ist

für n = 3

Zwischen den Punkten \( B\equiv D\equiv E \) und \( K\equiv F\equiv H \) befinden sich sechs gleiche Kondensatoren parallel. Wir nennen die Ersatzkapazität zwischen diesen Punkten C₂ und wenden erneut die Gleichung für die Parallelschaltung gleicher Kondensatoren mit n = 6 an.

Damit reduziert sich der Stromkreis auf Folgendes

Abb. 5

Die Ersatzkapazität des Stromkreises, C_ges, ist die Summe der in Reihe geschalteten Kapazitäten

der gemeinsame Faktor von 3C und 6C ist 6C.