Exercício Resolvido de Capacitores
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Usam-se 12 capacitores iguais de valor C para construir as arestas de um cubo como indicado na figura. Calcular o capacitor equivalente entre os pontos A e G que formam uma das diagonais principais do cubo.


Solução

Adotamos que os capacitores já estão carregados, desprezando o transiente durante o tempo de carga dos capacitores.
O ponto A é um nó do circuito a queda de tensão entre os pontos A e B, A e D, A e E é a mesma, portanto os pontos B, D e E representam um mesmo ponto do circuito, \( B\equiv D\equiv E \). Os três capacitores "saem" do ponto em comum A e "chegam" no ponto em comum \( B\equiv D\equiv E \), portanto esses três capacitores estão em paralelo (Figura 1).
Figura 1

Os três capacitores colocados entre os pontos K e G, F e G, H e G também estão sob a mesma diferença de potencial, os pontos K, F e H representam, então, um mesmo ponto do circuito, \( K\equiv F\equiv H \). Os capacitores "saem" do ponto comum \( K\equiv F\equiv H \) e "chegam" no ponto comum G. estes também estão em paralelo (Figura 2).
Figura 2

Os demais capacitores estão todos colocados entre os pontos comuns \( B\equiv D\equiv E \) e \( K\equiv F\equiv H \), estão todos em paralelo (Figura 3).

Figura 3

O circuito em cubo é equivalente a um circuito plano formando por três capacitores em paralelo, em série com seis capacitores em paralelo e em série com mais três capacitores em paralelo (Figura 4).

Figura 4

Vamos chamar de C1 o capacitor equivalente entre os pontos A e \( B\equiv D\equiv E \) e de C3 os capacitor equivalente entre os pontos \( K\equiv F\equiv H \) e G, como estas partes do circuito são iguais temos que C1 = C3. A expressão para determinar o capacitor equivalente de uma associação de n capacitores iguais ligados em paralelo é
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {C_{eq}=nC} \end{gather} \]
para n = 3
\[ \begin{gather} C_1=C_3=3C \end{gather} \]
Observação: também poderíamos determinar o capacitor equivalente aplicando a expressão geral para associação de capacitores em paralelo
\[ \begin{gather} C_{eq}=\sum_{i=1}^{n}C_{i}\\[5pt] C_1=C_3=C+C+C\\[5pt] C_1=C_3=3C \end{gather} \]

Entre os pontos \( B\equiv D\equiv E \) e \( K\equiv F\equiv H \) temos seis capacitores iguais em paralelo, vamos chamar o capacitor equivalente entre estes pontos de C2, aplicando novamente a expressão para associação em paralelo de capacitores de igual valor com n = 6
\[ \begin{gather} C_2=6C \end{gather} \]
Observação: ou aplicando a expressão geral para associação de capacitores em paralelo
\[ \begin{gather} C_2=C+C+C+C+C+C\\[5pt] C_2=6C \end{gather} \]

Assim o circuito se reduz ao seguinte

Figura 5

O capacitor equivalente do circuito Ceq será a soma dos capacitores em série
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\frac{1}{C_{eq}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac{1}{C_i}}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \frac{1}{C_{eq}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\frac{1}{C_3}\\[5pt] \frac{1}{C_{eq}}=\frac{1}{3C}+\frac{1}{6C}+\frac{1}{3C} \end{gather} \]
o fator comum entre 3C e 6C é 6C
\[ \begin{gather} \frac{1}{C_{eq}}=\frac{2+1+2}{6C}\\[5pt] \frac{1}{C_{eq}}=\frac{5}{6C} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {C_{eq}=\frac{6C}{5}} \end{gather} \]
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