Un prisma ha un angolo rifrangente di 60° e un indice di rifrazione uguale a \( \sqrt{2\;} \). Un raggio luminoso incide su una faccia con un angolo di incidenza di 45°. Determinare:
a) L'angolo di emergenza del raggio luminoso;
b) La deviazione totale subita dal raggio luminoso.

Dati del problema:

• Angolo rifrangente del prisma: Â = 60°;
• Angolo di incidenza del raggio luminoso: î₁ = 45°;
• Indice di rifrazione del prisma: \( n_2=\sqrt{2\;} \).

Schema del problema:

Supponendo che il prisma si trovi nell'aria, l'indice di rifrazione dell'aria è 1 (n₁ = 1).

Figura 1

Le grandezze con indice 1 si riferiscono all'esterno del prisma, mentre le grandezze con indice 2 si riferiscono all'interno del prisma.

Soluzione:

a) Il raggio luminoso viene rifratto all'interno del prisma. Per trovare l'angolo \( \hat r_1 \) che forma con la normale alla faccia del prisma, applichiamo la Legge di Snell-Descartes (Figura 2).

\[ \begin{gather} n_1\operatorname{sen}{\hat i}_1=n_2\operatorname{sen}{\hat r}_2 \\[5pt] 1\times\operatorname{sen}45°=\sqrt{2\;}\operatorname{sen}{\hat r}_2 \\[5pt] 1\times\frac{\sqrt{2\;}}{2}=\sqrt{2\;}\operatorname{sen}{\hat r}_2 \\[5pt] \operatorname{sen}{\hat r}_2=\frac{1}{\sqrt{2\;}}\times\frac{\sqrt{2\;}}{2} \\[5pt] \operatorname{sen}{\hat r}_2=\frac{1}{2} \\[5pt] {\hat r}_2=\operatorname{arc sen}\left(\frac{1}{2}\right) \\[5pt] {\hat r}_2=30° \end{gather} \]

Figura 2

Utilizzando l'equazione che mette in relazione l'angolo rifrangente del prisma Â, l'angolo rifratto sulla prima faccia \( {\hat r}_2 \) e l'angolo incidente sulla seconda faccia \( {\hat i}_2 \) (Figura 3)

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {\hat A={\hat r}_2+{\hat i}_2} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} 60°=30°+{\hat i}_2 \\[5pt] {\hat i}_2=60°-30° \\[5pt] {\hat i}_2=30° \end{gather} \]

Figura 3

Il raggio luminoso viene rifratto sulla seconda faccia verso l'esterno del prisma. Per trovare l'angolo \( {\hat r}_1 \) che forma con la normale alla faccia del prisma, applichiamo nuovamente la Legge di Snell-Descartes (Figura 4).

\[ \begin{gather} n_2\operatorname{sen}{\hat i}_2=n_1\operatorname{sen}{\hat r}_1 \\[5pt] \sqrt{2\;}\times\operatorname{sen}30°=1\times\operatorname{sen}{\hat r}_1 \\[5pt] \sqrt{2\;}\times\frac{1}{2}=\operatorname{sen}{\hat r}_1 \\[5pt] \operatorname{sen}{\hat r}_1=\frac{\sqrt{2\;}}{2} \\[5pt] {\hat r}_1=\operatorname{arcsen}\left(\frac{\sqrt{2\;}}{2}\right) \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {{\hat r}_1=45°} \end{gather} \]

Figura 4

b) La deviazione totale è data da (Figura 5)

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {\Delta={\hat i}_1+{\hat r}_1-\hat A} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \Delta =45°+45°-60° \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {\Delta =30°} \end{gather} \]

Figura 5