Ein Prisma hat einen Prismenwinkel von 60° und einen Brechungsindex gleich \( \sqrt{2\;} \). Ein Lichtstrahl trifft unter einem Einfallswinkel von 45° auf eine Fläche. Bestimmen Sie:
a) Den Austrittswinkel des Lichtstrahls;
b) Die Gesamtablenkung des Lichtstrahls.

Gegebene Daten:

• Prismenwinkel: Â = 60°;
• Einfallswinkel des Lichtstrahls: î₁ = 45°;
• Brechungsindex des Prismas: \( n_2=\sqrt{2\;} \).

Schema des Problems:

Unter der Annahme, dass sich das Prisma in Luft befindet, beträgt der Brechungsindex der Luft 1 (n₁ = 1).

Abb. 1

Die Größen mit Index 1 beziehen sich auf den Außenbereich des Prismas, und die Größen mit Index 2 beziehen sich auf das Innere des Prismas.

Lösung:

a) Der Lichtstrahl wird in das Prisma gebrochen. Um den Winkel \( \hat r_1 \) zu bestimmen, den er mit dem Lot auf die Prismenfläche bildet, wenden wir das Brechungsgesetz an (Abbildung 2).

\[ \begin{gather} n_1\sin{\hat i}_1=n_2\sin{\hat r}_2 \\[5pt] 1\times\sin 45°=\sqrt{2\;}\sin{\hat r}_2 \\[5pt] 1\times\frac{\sqrt{2\;}}{2}=\sqrt{2\;}\sin{\hat r}_2 \\[5pt] \sin{\hat r}_2=\frac{1}{\sqrt{2\;}}\times\frac{\sqrt{2\;}}{2} \\[5pt] \sin{\hat r}_2=\frac{1}{2} \\[5pt] {\hat r}_2=\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) \\[5pt] {\hat r}_2=30° \end{gather} \]

Abb. 2

Unter Verwendung der Gleichung zwischen dem Prismenwinkel Â, dem Brechungswinkel an der ersten Fläche \( {\hat r}_2 \) und dem Einfallswinkel an der zweiten Fläche \( {\hat i}_2 \) (Abbildung 3)

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {\hat A={\hat r}_2+{\hat i}_2} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} 60°=30°+{\hat i}_2 \\[5pt] {\hat i}_2=60°-30° \\[5pt] {\hat i}_2=30° \end{gather} \]

Abb. 3

Der Lichtstrahl wird an der zweiten Fläche aus dem Prisma heraus gebrochen. Um den Winkel \( {\hat r}_1 \) zu bestimmen, den der Lichtstrahl mit dem Lot auf die Prismenfläche bildet, wenden wir erneut das Brechungsgesetz an (Abbildung 4).

\[ \begin{gather} n_2\sin{\hat i}_2=n_1\sin{\hat r}_1 \\[5pt] \sqrt{2\;}\times\sin 30°=1\times\sin{\hat r}_1 \\[5pt] \sqrt{2\;}\times\frac{1}{2}=\sin{\hat r}_1 \\[5pt] \sin{\hat r}_1=\frac{\sqrt{2\;}}{2} \\[5pt] {\hat r}_1=\arcsin\left(\frac{\sqrt{2\;}}{2}\right) \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {{\hat r}_1=45°} \end{gather} \]

Abb. 4

b) Der Ablenkungswinkel ergibt sich aus (Abbildung 5)

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {\Delta={\hat i}_1+{\hat r}_1-\hat A} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \Delta =45°+45°-60° \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {\Delta =30°} \end{gather} \]

Abb. 5