Un prisma tiene un ángulo del prisma de 60° y un índice de refracción igual a \( \sqrt{2\;} \). Un rayo de luz incide sobre una cara con un ángulo de incidencia de 45°. Determine:
a) El ángulo de emergencia del rayo luminoso;
b) La desviación total sufrida por el rayo luminoso.

Datos del problema:

• Ángulo del prisma: Â = 60°;
• Ángulo de incidencia del rayo luminoso: î₁ = 45°;
• Índice de refracción del prisma: \( n_2=\sqrt{2\;} \).

Esquema del problema:

Suponiendo que el prisma está en el aire, el índice de refracción del aire es 1 (n₁ = 1).

Figura 1

Las magnitudes con índice 1 se refieren al exterior del prisma, y las magnitudes con índice 2 se refieren al interior del prisma.

Solución:

a) El rayo de luz se refracta hacia el interior del prisma. Para encontrar el ángulo \( \hat r_1 \) que forma con la normal a la cara del prisma, aplicamos la Ley de Snell-Descartes (Figura 2).

\[ \begin{gather} n_1\operatorname{sen}{\hat i}_1=n_2\operatorname{sen}{\hat r}_2 \\[5pt] 1\times\operatorname{sen}45°=\sqrt{2\;}\operatorname{sen}{\hat r}_2 \\[5pt] 1\times\frac{\sqrt{2\;}}{2}=\sqrt{2\;}\operatorname{sen}{\hat r}_2 \\[5pt] \operatorname{sen}{\hat r}_2=\frac{1}{\sqrt{2\;}}\times\frac{\sqrt{2\;}}{2} \\[5pt] \operatorname{sen}{\hat r}_2=\frac{1}{2} \\[5pt] {\hat r}_2=\operatorname{arc sen}\left(\frac{1}{2}\right) \\[5pt] {\hat r}_2=30° \end{gather} \]

Figura 2

Usando la ecuación entre el ángulo del prisma Â, el ángulo refractado en la primera cara \( {\hat r}_2 \) y el ángulo incidente en la segunda cara \( {\hat i}_2 \) (Figura 3) (Figura 3)

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {\hat A={\hat r}_2+{\hat i}_2} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} 60°=30°+{\hat i}_2 \\[5pt] {\hat i}_2=60°-30° \\[5pt] {\hat i}_2=30° \end{gather} \]

Figura 3

El rayo de luz se refracta en la segunda cara hacia el exterior del prisma. Para encontrar el ángulo \( {\hat r}_1 \) que forma con la normal a la cara del prisma, aplicamos nuevamente la Ley de Snell-Descartes (Figura 4).

\[ \begin{gather} n_2\operatorname{sen}{\hat i}_2=n_1\operatorname{sen}{\hat r}_1 \\[5pt] \sqrt{2\;}\times\operatorname{sen}30°=1\times\operatorname{sen}{\hat r}_1 \\[5pt] \sqrt{2\;}\times\frac{1}{2}=\operatorname{sen}{\hat r}_1 \\[5pt] \operatorname{sen}{\hat r}_1=\frac{\sqrt{2\;}}{2} \\[5pt] {\hat r}_1=\operatorname{arcsen}\left(\frac{\sqrt{2\;}}{2}\right) \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {{\hat r}_1=45°} \end{gather} \]

Figura 4

b) La desviación total está dada por (Figura 5)

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {\Delta={\hat i}_1+{\hat r}_1-\hat A} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \Delta =45°+45°-60° \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {\Delta =30°} \end{gather} \]

Figura 5