Un prisme possède un angle au sommet de 60° et un indice de réfraction égal à \( \sqrt{2\;} \). Un rayon lumineux arrive sur une face avec un angle d'incidence de 45°. Déterminez:
a) L'angle d'émergence du rayon lumineux;
b) La déviation totale subie par le rayon lumineux.

Données du problème:

• Angle au sommet du prisme: Â = 60°;
• Angle d'incidence du rayon lumineux: î₁ = 45°;
• Indice de réfraction du prisme: \( n_2=\sqrt{2\;} \).

Schéma du problème:

En supposant que le prisme se trouve dans l'air, l'indice de réfraction de l'air est égal à 1 (n₁ = 1).

Figure 1

Les grandeurs d'indice 1 se réfèrent à l'extérieur du prisme, et les grandeurs d'indice 2 se réfèrent à l'intérieur du prisme.

Solution:

a) Le rayon lumineux est réfracté à l'intérieur du prisme. Pour trouver l'angle \( \hat r_1 \) qu'il forme avec la normale à la face du prisme, nous appliquons la Loi de Snell-Descartes (Figure 2).

\[ \begin{gather} n_1\sin{\hat i}_1=n_2\sin{\hat r}_2 \\[5pt] 1\times\sin 45°=\sqrt{2\;}\sin{\hat r}_2 \\[5pt] 1\times\frac{\sqrt{2\;}}{2}=\sqrt{2\;}\sin{\hat r}_2 \\[5pt] \sin{\hat r}_2=\frac{1}{\sqrt{2\;}}\times\frac{\sqrt{2\;}}{2} \\[5pt] \sin{\hat r}_2=\frac{1}{2} \\[5pt] {\hat r}_2=\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) \\[5pt] {\hat r}_2=30° \end{gather} \]

Figure 2

En utilisant l'équation reliant l'angle au sommet du prisme Â, l'angle réfracté sur la première face \( {\hat r}_2 \) et l'angle incident sur la deuxième face \( {\hat i}_2 \) (Figure 3)

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {\hat A={\hat r}_2+{\hat i}_2} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} 60°=30°+{\hat i}_2 \\[5pt] {\hat i}_2=60°-30° \\[5pt] {\hat i}_2=30° \end{gather} \]

Figure 3

Le rayon lumineux est réfracté sur la deuxième face vers l'extérieur du prisme. Pour trouver l'angle \( {\hat r}_1 \) qu'il forme avec la normale à la face du prisme, nous appliquons à nouveau la Loi de Snell-Descartes (Figure 4).

\[ \begin{gather} n_2\sin{\hat i}_2=n_1\sin{\hat r}_1 \\[5pt] \sqrt{2\;}\times\sin 30°=1\times\sin{\hat r}_1 \\[5pt] \sqrt{2\;}\times\frac{1}{2}=\sin{\hat r}_1 \\[5pt] \sin{\hat r}_1=\frac{\sqrt{2\;}}{2} \\[5pt] {\hat r}_1=\arcsin\left(\frac{\sqrt{2\;}}{2}\right) \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {{\hat r}_1=45°} \end{gather} \]

Figure 4

b) La déviation totale est donnée par (Figure 5)

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {\Delta={\hat i}_1+{\hat r}_1-\hat A} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \Delta =45°+45°-60° \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {\Delta =30°} \end{gather} \]

Figura 5