Um prisma possui ângulo de refringência de 60° e índice de refração igual à
\( \sqrt{2\;} \).
Um raio de luz incide sobre uma face com ângulo de incidência de 45°. Determine:
a) O ângulo de emergência do raio luminoso;
b) O desvio total sofrido pelo raio luminoso.
Dados do problema:
- Ângulo de refringência do prisma: Â = 60°;
- Ângulo de incidência do raio luminoso: î1 = 45°;
- Índice de refração do prisma: \( n_2=\sqrt{2\;} \).
Esquema do problema:
Admitindo que o prisma está no ar, o índice de refração do ar é 1 (n1 = 1).
As grandezas com índice 1 referem-se ao exterior do prisma, e as grandezas com índice 2 referem-se ao
interior do prisma.
Solução:
a) O raio de luz é refratado para dentro do prisma, para encontrarmos o ângulo
\( \hat r_1 \)
que ele forma com a normal à face do prisma aplicamos a Lei de Snell-Descartes (Figura 2).
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{n_1\operatorname{sen}\theta_1=n_2\operatorname{sen}\theta_2}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
n_1\operatorname{sen}{\hat i}_1=n_2\operatorname{sen}{\hat r}_2 \\[5pt]
1\times\operatorname{sen}45°=\sqrt{2\;}\operatorname{sen}{\hat r}_2 \\[5pt]
1\times\frac{\sqrt{2\;}}{2}=\sqrt{2\;}\operatorname{sen}{\hat r}_2 \\[5pt]
\operatorname{sen}{\hat r}_2=\frac{1}{\sqrt{2\;}}\times\frac{\sqrt{2\;}}{2} \\[5pt]
\operatorname{sen}{\hat r}_2=\frac{1}{2} \\[5pt]
{\hat r}_2=\operatorname{arc sen}\left(\frac{1}{2}\right) \\[5pt]
{\hat r}_2=30°
\end{gather}
\]
Usando a equação entre o ângulo de refringência do prisma
Â, o ângulo refratado na primeira face
\( {\hat r}_2 \)
e o ângulo incidente na segunda face
\( {\hat i}_2 \) (Figura 3)
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\hat A={\hat r}_2+{\hat i}_2}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
60°=30°+{\hat i}_2 \\[5pt]
{\hat i}_2=60°-30° \\[5pt]
{\hat i}_2=30°
\end{gather}
\]
O raio de luz é refratado na segunda face para fora do prisma, para encontrarmos o ângulo
\( {\hat r}_1 \)
que ele forma com a normal à face do prisma aplicamos, novamente, a Lei de Snell-Descartes (Figura 4)
\[
\begin{gather}
n_2\operatorname{sen}{\hat i}_2=n_1\operatorname{sen}{\hat r}_1 \\[5pt]
\sqrt{2\;}\times\operatorname{sen}30°=1\times\operatorname{sen}{\hat r}_1 \\[5pt]
\sqrt{2\;}\times\frac{1}{2}=\operatorname{sen}{\hat r}_1 \\[5pt]
\operatorname{sen}{\hat r}_1=\frac{\sqrt{2\;}}{2} \\[5pt]
{\hat r}_1=\operatorname{arcsen}\left(\frac{\sqrt{2\;}}{2}\right)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{{\hat r}_1=45°}
\end{gather}
\]
b) O desvio total será dado por (Figura 5)
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\Delta={\hat i}_1+{\hat r}_1-\hat A}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\Delta =45°+45°-60°
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\Delta =30°}
\end{gather}
\]
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