Due particelle si muovono sulla stessa retta, con moto dato dalle seguenti equazioni
\[
\begin{gather}
S_1=-10t+5t^2 \\[10pt]
S_2=30+5t-10t^2
\end{gather}
\]
le posizioni sono misurate in centimetri a partire da un'origine comune, e il tempo t è misurato in secondi.
Determinare:
a) L'istante in cui i due corpi si incontrano;
b) Le velocità e le accelerazioni di entrambi in tale istante;
c) La posizione del punto di incontro;
d) Quando e dove sono uguali le velocità delle due particelle;
e) Gli istanti in cui i corpi cambiano verso.
Soluzione:
Le equazioni date nel problema mostrano che le particelle sono in Moto Rettilineo Uniformemente Accelerato,
dato da
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{S=S_0+v_0 t+\frac{a}{2}t^2}
\end{gather}
\]
Facendo le seguenti associazioni
\[
\begin{array}{c}
S_1 & = & 0 & - & 10 & t & + & 5 & t^2\\
\downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & & \downarrow \\
S & = & S_0 & + & v_0 & t & + & \dfrac{a}{2} & t^2
\end{array}
\]
la posizione iniziale della particella 1 è S01 = 0, la velocità iniziale
v01 = −10 cm/s e l'accelerazione
\( \frac{a_1}{2}=5\Rightarrow a_1=2\times 5\Rightarrow a_1=10\;\mathrm{cm/s^2} \)
\[
\begin{gather}
S_2 & = & 30 & + & 5 & t & - & 10 & t^2 \\
\downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & & \downarrow & \\
\;S & = & S_0 & + & v_0 & t & + & \dfrac{a}{2} & t^2
\end{gather}
\]
la posizione iniziale della particella 2 è S02 = 30 cm, la velocità iniziale
v02 = 5 cm/s e l'accelerazione
\( \frac{a_2}{2}=-10\Rightarrow a_2=-2\times 10\Rightarrow a_2=-20\;\mathrm{cm/s^2} \)
a) Nell'istante in cui le particelle si incontrano esse si trovano nella stessa posizione, applicando la condizione
di uguaglianza alle equazioni date per le particelle
\[
\begin{gather}
S_1=S_2 \\[5pt]
-10t+5t^2=30+5t-10t^2 \\[5pt]
-10t+5t^2-30-5t+10t^2=0 \\[5pt]
15t^2-15t-30=0
\end{gather}
\]
dividendo l'equazione per 15
\[
\begin{gather}
\qquad\qquad 15t^2-15t-30=0 \qquad (\div15) \\[5pt]
t^2-t-2=0
\end{gather}
\]
Questa è un'Equazione di Secondo Grado in cui l'incognita è il valore desiderato del tempo.
Soluzione dell'
Equazione di Secondo Grado
\( t^2-t-2=0 \)
\[
\begin{gather}
\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4\times 1\times(-2)=1+8=9 \\[5pt]
t=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta\;}}{2a}=\frac{-(-1)\pm\sqrt{9\;}}{2\times 1}=\frac{1\pm 3}{2}
\end{gather}
\]
le due radici dell'equazione sono
\[
\begin{gather}
t_1=2\;\mathrm s\\
e\\
t_2=-1\;\mathrm s
\end{gather}
\]
Poiché non esiste un tempo negativo, trascuriamo la seconda radice, l'istante di incontro sarà
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{t=2\;\mathrm s}
\end{gather}
\]
b) Nel Moto Rettilineo Uniformemente Accelerato l'equazione della velocità è data da
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{v=v_0+at}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
v_1=v_{01}+a_1t \\[5pt]
v_1=-10+10t \tag{I}
\end{gather}
\]
sostituendo l'istante di tempo trovato al punto (a)
\[
\begin{gather}
v_1=-10+10\times 2
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{v_1=10\;\mathrm{cm/s}}
\end{gather}
\]
L'accelerazione è costante e uguale a
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{a_1=10\;\mathrm{cm/s^2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
v_2=v_{02}+a_2t \\[5pt]
v_2=5-20t \tag{II}
\end{gather}
\]
sostituendo l'istante di tempo trovato al punto (a)
\[
\begin{gather}
v_2=5-20\times 2
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{v_2=-35\;\mathrm{cm/s}}
\end{gather}
\]
L'accelerazione è costante e uguale a
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{a_2=-20\;\mathrm{cm/s^2}}
\end{gather}
\]
c) Sostituendo l'istante di incontro nell'equazione della particella 1
\[
\begin{gather}
S_1=-10.2+5\times 2^2 \\[5pt]
S_1=-20+5\times 4
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{S_1=0}
\end{gather}
\]
le particelle si incontrano nell'origine del sistema.
Osservazione: Se avessimo sostituito nell'equazione della particella 2 il risultato sarebbe stato
lo stesso
\[
\begin{gather}
S_2=30+5\times 2-10\times 2^2 \\[5pt]
S_2=30+10-10\times 4 \\[5pt]
S_2=0
\end{gather}
\]
d) Uguagliando le equazioni (I) e (II), abbiamo l'istante in cui le velocità delle particelle sono uguali
\[
\begin{gather}
v_1=v_2 \\[5pt]
-10+10t=5-20t \\[5pt]
10t+20t=5+10 \\[5pt]
30t=15 \\[5pt]
t=\frac{15}{30}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{t=0,5\;\mathrm s}
\end{gather}
\]
Sostituendo questo istante di tempo nelle equazioni date nel problema
\[
\begin{gather}
S_1=-10\times 0,5+5\times 0,5^2 \\[5pt]
S_1=-5+5\times 0,25 \\[5pt]
S_1=-5+1,25
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{S_1=-3,75\;\mathrm{cm}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
S_2=30+5\times 0,5-10\times 0,5^2 \\[5pt]
S_2=30+2,5-10\times 0,25 \\[5pt]
S_2=30+2,5-2,5
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{S_2=30\;\mathrm{cm}}
\end{gather}
\]
e) Nell'istante in cui le particelle cambiano verso le loro velocità sono uguali a zero
(v1 = 0 e v2 = 0), sostituendo queste condizioni nelle equazioni (I) e (II
\[
\begin{gather}
0=-10+10t \\[5pt]
t=\frac{10}{10}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{t=1\;\mathrm s}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
0=5-20t \\[5pt]
t=\frac{5}{20}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{t=0,25\;\mathrm s}
\end{gather}
\]
DE
EN
ES
FR
PT-BR