Zwei Teilchen bewegen sich auf derselben Geraden. Ihre Bewegung wird durch die folgenden Gleichungen beschrieben.
\[
\begin{gather}
S_1=-10t+5t^2 \\[10pt]
S_2=30+5t-10t^2
\end{gather}
\]
die Positionen werden in Zentimetern von einem gemeinsamen Ursprung aus gemessen, und die Zeit t wird in
Sekunden gemessen. Bestimmen Sie:
a) Den Zeitpunkt, zu dem sich die beiden Teilchen treffen;
b) Die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen beider Teilchen zu diesem Zeitpunkt;
c) Die Position des Treffpunkts;
d) Wann und wo die Geschwindigkeiten der beiden Teilchen gleich sind;
e) Die Zeitpunkte, zu denen die Teilchen ihre Bewegungsrichtung ändern.
Lösung:
Die im Problem gegebenen Gleichungen zeigen, dass sich die Teilchen in einer
Gleichmäßig Beschleunigten Geradlinigen Bewegung befinden, beschrieben durch
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{S=S_0+v_0 t+\frac{a}{2}t^2}
\end{gather}
\]
Dabei gelten die folgenden Zuordnungen
\[
\begin{array}{c}
S_1 & = & 0 & - & 10 & t & + & 5 & t^2\\
\downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & & \downarrow \\
S & = & S_0 & + & v_0 & t & + & \dfrac{a}{2} & t^2
\end{array}
\]
Die Anfangsposition des Teilchens 1 ist S01 = 0, die Anfangsgeschwindigkeit
v01 = −10 cm/s und die Beschleunigung
\( \frac{a_1}{2}=5\Rightarrow a_1=2\times 5\Rightarrow a_1=10\;\mathrm{cm/s^2} \)
\[
\begin{gather}
S_2 & = & 30 & + & 5 & t & - & 10 & t^2 \\
\downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & & \downarrow & \\
\;S & = & S_0 & + & v_0 & t & + & \dfrac{a}{2} & t^2
\end{gather}
\]
die Anfangsposition des Teilchens 2 ist S02 = 30 cm, die Anfangsgeschwindigkeit
v02 = 5 cm/s und die Beschleunigung
\( \frac{a_2}{2}=-10\Rightarrow a_2=-2\times 10\Rightarrow a_2=-20\;\mathrm{cm/s^2} \)
a) Im Augenblick, in dem sich die Teilchen treffen, befinden sie sich an derselben Position. Wenden wir daher die
Gleichheitsbedingung auf die für die Teilchen gegebenen Gleichungen an.
\[
\begin{gather}
S_1=S_2 \\[5pt]
-10t+5t^2=30+5t-10t^2 \\[5pt]
-10t+5t^2-30-5t+10t^2=0 \\[5pt]
15t^2-15t-30=0
\end{gather}
\]
division der Gleichung durch 15
\[
\begin{gather}
\qquad\qquad 15t^2-15t-30=0 \qquad (\div15) \\[5pt]
t^2-t-2=0
\end{gather}
\]
Dies ist eine Quadratische Gleichung, deren Unbekannte der gesuchte Zeitpunkt ist.
Lösung der
Quadratischen Gleichung
\( t^2-t-2=0 \)
\[
\begin{gather}
\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4\times 1\times(-2)=1+8=9 \\[5pt]
t=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta\;}}{2a}=\frac{-(-1)\pm\sqrt{9\;}}{2\times 1}=\frac{1\pm 3}{2}
\end{gather}
\]
die beiden Lösungen der Gleichung sind
\[
\begin{gather}
t_1=2\;\mathrm s\\
und\\
t_2=-1\;\mathrm s
\end{gather}
\]
Da es keine negative Zeit gibt, verwerfen wir die zweite Lösung. Somit ist der Treffzeitpunkt
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{t=2\;\mathrm s}
\end{gather}
\]
b) Bei der Gleichmäßig Beschleunigten Geradlinigen Bewegung ist die Gleichung der Geschwindigkeit
gegeben durch
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{v=v_0+at}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
v_1=v_{01}+a_1t \\[5pt]
v_1=-10+10t \tag{I}
\end{gather}
\]
Einsetzen des in Teil (a) gefundenen Zeitpunkts
\[
\begin{gather}
v_1=-10+10\times 2
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{v_1=10\;\mathrm{cm/s}}
\end{gather}
\]
Die Beschleunigung ist konstant und gleich
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{a_1=10\;\mathrm{cm/s^2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
v_2=v_{02}+a_2t \\[5pt]
v_2=5-20t \tag{II}
\end{gather}
\]
Einsetzen des in Teil (a) gefundenen Zeitpunkts
\[
\begin{gather}
v_2=5-20\times 2
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{v_2=-35\;\mathrm{cm/s}}
\end{gather}
\]
Die Beschleunigung ist konstant und gleich
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{a_2=-20\;\mathrm{cm/s^2}}
\end{gather}
\]
c) Einsetzen des Treffzeitpunkts in die Gleichung des Teilchens 1
\[
\begin{gather}
S_1=-10.2+5\times 2^2 \\[5pt]
S_1=-20+5\times 4
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{S_1=0}
\end{gather}
\]
die Teilchen treffen sich im Ursprung des Bezugssystems.
Anmerkung: Hätten wir den Treffzeitpunkt in die Gleichung des Teilchens 2 eingesetzt, hätten wir
dasselbe Ergebnis erhalten.
\[
\begin{gather}
S_2=30+5\times 2-10\times 2^2 \\[5pt]
S_2=30+10-10\times 4 \\[5pt]
S_2=0
\end{gather}
\]
d) Durch Gleichsetzen der Gleichungen (I) und (II) erhalten wir den Zeitpunkt, zu dem die Geschwindigkeiten der
beiden Teilchen gleich sind.
\[
\begin{gather}
v_1=v_2 \\[5pt]
-10+10t=5-20t \\[5pt]
10t+20t=5+10 \\[5pt]
30t=15 \\[5pt]
t=\frac{15}{30}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{t=0,5\;\mathrm s}
\end{gather}
\]
Einsetzen dieses Zeitpunkts in die im Problem gegebenen Gleichungen
\[
\begin{gather}
S_1=-10\times 0,5+5\times 0,5^2 \\[5pt]
S_1=-5+5\times 0,25 \\[5pt]
S_1=-5+1,25
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{S_1=-3,75\;\mathrm{cm}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
S_2=30+5\times 0,5-10\times 0,5^2 \\[5pt]
S_2=30+2,5-10\times 0,25 \\[5pt]
S_2=30+2,5-2,5
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{S_2=30\;\mathrm{cm}}
\end{gather}
\]
e) In dem Augenblick, in dem die Teilchen ihre Bewegungsrichtung ändern, sind ihre Geschwindigkeiten gleich null
(v1 = 0 e v2 = 0). Setzen wir diese Bedingungen in die Gleichungen (I)
und (II) ein.
\[
\begin{gather}
0=-10+10t \\[5pt]
t=\frac{10}{10}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{t=1\;\mathrm s}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
0=5-20t \\[5pt]
t=\frac{5}{20}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{t=0,25\;\mathrm s}
\end{gather}
\]
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