Deux particules se déplacent sur la même ligne, avec des mouvements donnés par les équations suivantes
\[
\begin{gather}
S_1=-10t+5t^2 \\[10pt]
S_2=30+5t-10t^2
\end{gather}
\]
es positions sont mesurées en centimètres à partir d'une origine commune, et le temps t est mesuré en
secondes. Déterminer:
a) Le instant où les deux mobiles se rencontrent;
b) Les vitesses et accélérations des deux à ce moment-là;
c) La position du point de rencontre;
d) Quand et où les vitesses des deux particules sont égales;
e) Les instants où les mobiles changent de direction.
Solution:
Les équations données dans le problème montrent que les particules sont en
Mouvement Rectiligne Uniformément Accéléré, donné par
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{S=S_0+v_0 t+\frac{a}{2}t^2}
\end{gather}
\]
En faisant les associations suivantes
\[
\begin{array}{c}
S_1 & = & 0 & - & 10 & t & + & 5 & t^2 \\
\downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & & \downarrow \\
S & = & S_0 & + & v_0 & t & + & \dfrac{a}{2} & t^2
\end{array}
\]
la position initiale de la particule 1 est S01 = 0, la vitesse initiale
v01 = −10 cm/s et l'accélération
\( \frac{a_1}{2}=5\Rightarrow a_1=2\times 5\Rightarrow a_1=10\;\mathrm{cm/s^2} \)
\[
\begin{gather}
S_2 & = & 30 & + & 5 & t & - & 10 & t^2 \\
\downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & & \downarrow & \\
\;S & = & S_0 & + & v_0 & t & + & \dfrac{a}{2} & t^2
\end{gather}
\]
la position initiale de la particule 2 est S02 = 30 cm, la vitesse initiale
v02 = 5 cm/s et l'accélération
\( \frac{a_2}{2}=-10\Rightarrow a_2=-2\times 10\Rightarrow a_2=-20\;\mathrm{cm/s^2} \)
a) Au instant où les particules se rencontrent, elles sont à la même position, en appliquant la condition
d'égalité pour les équations données pour les particules
\[
\begin{gather}
S_1=S_2 \\[5pt]
-10t+5t^2=30+5t-10t^2 \\[5pt]
-10t+5t^2-30-5t+10t^2=0 \\[5pt]
15t^2-15t-30=0
\end{gather}
\]
en divisant l'équation par 15
\[
\begin{gather}
\qquad\qquad 15t^2-15t-30=0 \qquad (\div15) \\[5pt]
t^2-t-2=0
\end{gather}
\]
C'est une Équation du Second Degré, où l'inconnue est la valeur du temps que nous voulons trouver.
Solution de l'
Équation du Second Degré
\( t^2-t-2=0 \)
\[
\begin{gather}
\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4\times 1\times(-2)=1+8=9 \\[5pt]
t=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta \;}}{2a}=\frac{-(-1)\pm \sqrt{9\;}}{2\times 1}=\frac{1\pm 3}{2}
\end{gather}
\]
les deux racines de l'équation seront
\[
\begin{gather}
t_1=2\;\mathrm s\\
e\\
t_2=-1\;\mathrm s
\end{gather}
\]
Comme il n'existe pas de temps négatif, nous négligeons la deuxième racine, l'instant de rencontre sera
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{t=2\;\mathrm s}
\end{gather}
\]
b) Dans le Mouvement Rectiligne Uniformément Accéléré, l'équation de vitesse est donnée par
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{v=v_0+at}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
v_1=v_{01}+a_1t \\[5pt]
v_1=-10+10t \tag{I}
\end{gather}
\]
en remplaçant l'instant de temps trouvé dans la partie (a)
\[
\begin{gather}
v_1=-10+10\times 2
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{v_1=10\;\mathrm{cm/s}}
\end{gather}
\]
L'accélération est constante et égale à
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{a_1=10\;\mathrm{cm/s^2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
v_2=v_{02}+a_2t \\[5pt]
v_2=5-20t\tag{II}
\end{gather}
\]
en remplaçant l'instant de temps trouvé dans la partie (a)
\[
\begin{gather}
v_2=5-20\times 2
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{v_2=-35\;\mathrm{cm/s}}
\end{gather}
\]
L'accélération est constante et égale à
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{a_2=-20\;\mathrm{cm/s^2}}
\end{gather}
\]
c) En remplaçant l'instant de rencontre dans l'équation de la particule 1
\[
\begin{gather}
S_1=-10.2+5\times 2^2 \\[5pt]
S_1=-20+5\times 4
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{S_1=0}
\end{gather}
\]
les particules se rencontrent à l'origine du système
Remarque: Si nous avions substitué le résultat dans l'équation de la particule 2, le
résultat aurait été le même
\[
\begin{gather}
S_2=30+5\times 2-10\times 2^2 \\[5pt]
S_2=30+10-10\times 4 \\[5pt]
S_2=0
\end{gather}
\]
d) En égalant les équations (I) et (II), nous obtenons l'instant où les vitesses des particules sont égales
\[
\begin{gather}
v_1=v_2 \\[5pt]
-10+10t=5-20t \\[5pt]
10t+20t=5+10 \\[5pt]
30t=15 \\[5pt]
t=\frac{15}{30}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{t=0,5\;\mathrm s}
\end{gather}
\]
En substituant cet instant de temps dans les équations données dans le problème
\[
\begin{gather}
S_1=-10\times 0,5+5\times 0,5^2 \\[5pt]
S_1=-5+5\times 0,25 \\[5pt]
S_1=-5+1,25
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{S_1=-3,75\;\mathrm{cm}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
S_2=30+5\times 0,5-10\times 0,5^2 \\[5pt]
S_2=30+2,5-10\times 0,25 \\[5pt]
S_2=30+2,5-2,5
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{S_2=30\;\mathrm{cm}}
\end{gather}
\]
e) À l'instant où les particules changent de direction, leurs vitesses sont égales à zéro
(v1 = 0 e v2 = 0), en substituant ces conditions dans les équations (I) et (II)
\[
\begin{gather}
0=-10+10t \\[5pt]
t=\frac{10}{10}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{t=1\;\mathrm s}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
0=5-20t \\[5pt]
t=\frac{5}{20}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{t=0,25\;\mathrm s}
\end{gather}
\]
DE
EN
ES
PT-BR