Dos partículas se mueven sobre la misma recta, con movimiento dado por las siguientes ecuaciones
\[
\begin{gather}
S_1=-10t+5t^2\\[10pt]
S_2=30+5t-10t^2
\end{gather}
\]
las posiciones se miden en centímetros desde un origen común, y el tiempo t se mide en segundos.
Determinar:
a) El instante en que los dos móviles se encuentran;
b) Las velocidades y aceleraciones de ambos en ese instante;
c) La posición del punto de encuentro;
d) Cuándo y dónde son iguales las velocidades de las dos partículas;
e) Los momentos en que los móviles cambian de dirección.
Solución:
Las ecuaciones dadas en el problema muestran que las partículas están en
Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV), dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{S=S_0+v_0 t+\frac{a}{2}t^2}
\end{gather}
\]
Haciendo las siguientes asociaciones
\[
\begin{array}{c}
S_1 & = & 0 & - & 10 & t & + & 5 & t^2 \\
\downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & & \downarrow \\
S & = & S_0 & + & v_0 & t & + & \dfrac{a}{2} & t^2
\end{array}
\]
la posición inicial de la partícula 1 es S01 = 0, la velocidad inicial
v01 = −10 cm/s y la aceleración
\( \frac{a_1}{2}=5\Rightarrow a_1=2\times 5\Rightarrow a_1=10\;\mathrm{cm/s^2} \)
\[
\begin{gather}
S_2 & = & 30 & + & 5 & t & - & 10 & t^2 \\
\downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & & \downarrow & \\
\;S & = & S_0 & + & v_0 & t & + & \dfrac{a}{2} & t^2
\end{gather}
\]
la posición inicial de la partícula 2 es S02 = 30 cm, la velocidad inicial
v02 = 5 cm/s y la aceleración
\( \frac{a_2}{2}=-10\Rightarrow a_2=-2\times 10\Rightarrow a_2=-20\;\mathrm{cm/s^2} \)
a) En el momento en que las partículas se encuentran, están en la misma posición, aplicando la condición de
igualdad para las ecuaciones dadas para las partículas
\[
\begin{gather}
S_1=S_2 \\[5pt]
-10t+5t^2=30+5t-10t^2 \\[5pt]
-10t+5t^2-30-5t+10t^2=0 \\[5pt]
15t^2-15t-30=0
\end{gather}
\]
dividiendo la ecuación por 15
\[
\begin{gather}
\qquad\qquad 15t^2-15t-30=0 \qquad (\div15) \\[5pt]
t^2-t-2=0
\end{gather}
\]
Esta es una Ecuación de Segundo Grado donde la incógnita es el valor deseado del tiempo.
Solución de la
Ecuación de Segundo Grado
\( t^2-t-2=0 \)
\[
\begin{gather}
\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4\times 1\times(-2)=1+8=9 \\[5pt]
t=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta \;}}{2a}=\frac{-(-1)\pm \sqrt{9\;}}{2\times 1}=\frac{1\pm 3}{2}
\end{gather}
\]
las dos raíces de la ecuación son
\[
\begin{gather}
t_1=2\;\mathrm s \\
y \\
t_2=-1\;\mathrm s
\end{gather}
\]
Como no existe tiempo negativo, despreciamos la segunda raíz, el instante de encuentro será
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{t=2\;\mathrm s}
\end{gather}
\]
b) En el Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV), la ecuación de la velocidad está dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{v=v_0+at}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
v_1=v_{01}+a_1t \\[5pt]
v_1=-10+10t \tag{I}
\end{gather}
\]
sustituyendo el instante de tiempo encontrado en el ítem (a)
\[
\begin{gather}
v_1=-10+10\times 2
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{v_1=10\;\mathrm{cm/s}}
\end{gather}
\]
La aceleración es constante e igual a
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{a_1=10\;\mathrm{cm/s^2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
v_2=v_{02}+a_2t \\[5pt]
v_2=5-20t\tag{II}
\end{gather}
\]
sustituyendo el instante de tiempo encontrado en el ítem (a)
\[
\begin{gather}
v_2=5-20\times 2
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{v_2=-35\;\mathrm{cm/s}}
\end{gather}
\]
La aceleración es constante e igual a
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{a_2=-20\;\mathrm{cm/s^2}}
\end{gather}
\]
c) Sustituyendo el instante de encuentro en la ecuación de la partícula 1
\[
\begin{gather}
S_1=-10.2+5\times 2^2 \\[5pt]
S_1=-20+5\times 4
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{S_1=0}
\end{gather}
\]
las partículas se encuentran en el origen del sistema.
Observación: si hubiéramos sustituido en la ecuación de la partícula 2, el resultado sería
el mismo
\[
\begin{gather}
S_2=30+5\times 2-10\times 2^2 \\[5pt]
S_2=30+10-10\times 4 \\[5pt]
S_2=0
\end{gather}
\]
d) Igualando las ecuaciones (I) y (II), obtenemos el instante en que las velocidades de las partículas son iguales
\[
\begin{gather}
v_1=v_2 \\[5pt]
-10+10t=5-20t \\[5pt]
10t+20t=5+10 \\[5pt]
30t=15 \\[5pt]
t=\frac{15}{30}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{t=0,5\;\text{s}}
\end{gather}
\]
Sustituyendo ese instante de tiempo en las ecuaciones dadas en el problema
\[
\begin{gather}
S_1=-10\times 0,5+5\times 0,5^2 \\[5pt]
S_1=-5+5\times 0,25 \\[5pt]
S_1=-5+1,25
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{S_1=-3,75\;\mathrm{cm}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
S_2=30+5\times 0,5-10\times 0,5^2 \\[5pt]
S_2=30+2,5-10\times 0,25 \\[5pt]
S_2=30+2,5-2,5
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{S_2=30\;\mathrm{cm}}
\end{gather}
\]
e) En el instante en que las partículas cambian de dirección, sus velocidades son iguales a cero
(v1 = 0 e v2 = 0), sustituyendo estas condiciones en las ecuaciones (I) y (II)
\[
\begin{gather}
0=-10+10t \\[5pt]
t=\frac{10}{10}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{t=1\;\text{s}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
0=5-20t \\[5pt]
t=\frac{5}{20}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{t=0,25\;\text{s}}
\end{gather}
\]
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