Exercício Resolvido de Movimento Unidimensional
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Duas partículas movem-se sobre a mesma reta, com movimento dado pelas seguintes equações
\[ \begin{gather} S_1=-10t+5t^2\\[10pt] S_2=30+5t-10t^2 \end{gather} \]
as posições são medidas em centímetros a partir de uma origem comum, e o tempo t é medido em segundos. Determinar:
a) O instante em que os dois móveis se encontram;
b) As velocidades e acelerações de ambos nesse instante;
c) A posição do ponto de encontro;
d) Quando e onde são iguais as velocidades das duas partículas;
e) Os instantes em que os móveis mudam de sentido.


Solução

As equações dadas no problema mostram que as partículas estão em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.), dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {S=S_0+v_0 t+\frac{a}{2}t^2} \end{gather} \]
Fazendo as seguintes associações
\[ \begin{array}{c} S_1 & = & 0 & - & 10 & t & + & 5 & t^2\\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & & \downarrow \\ S & = & S_0 & + & v_0 & t & + & \dfrac{a}{2} & t^2 \end{array} \]
a posição inicial da partícula 1 é S01 = 0, a velocidade inicial v01 = −10 cm/s e a aceleração   \( \frac{a_1}{2}=5\Rightarrow a_1=2\times 5\Rightarrow a_1=10\;\mathrm{cm/s^2} \)
\[ \begin{gather} S_2 & = & 30 & + & 5 & t & - & 10 & t^2\\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & & \downarrow & \\ \;S & = & S_0 & + & v_0 & t & + & \dfrac{a}{2} & t^2 \end{gather} \]
a posição inicial da partícula 2 é S02 = 30 cm, a velocidade inicial v02 = 5 cm/s e a aceleração   \( \frac{a_2}{2}=-10\Rightarrow a_2=-2\times 10\Rightarrow a_2=-20\;\mathrm{cm/s^2} \)

a) No instante em que as partículas se encontram elas estão na mesma posição, aplicando a condição de igualdade para as equações dadas para as partículas
\[ \begin{gather} S_1=S_2\\[5pt] -10t+5t^2=30+5t-10t^2\\[5pt] -10t+5t^2-30-5t+10t^2=0\\[5pt] 15t^2-15t-30=0 \end{gather} \]
dividindo a equação por 15
\[ \begin{gather} \qquad\qquad 15t^2-15t-30=0 \qquad (\div15)\\[5pt] t^2-t-2=0 \end{gather} \]
Esta é uma Equação de 2.º Grau onde a incógnita é o valor desejado do tempo.

Solução da Equação de 2.º Grau    \( t^2-t-2=0 \)
\[ \begin{gather} \Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4\times 1\times(-2)=1+8=9\\[5pt] t=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta \;}}{2a}=\frac{-(-1)\pm \sqrt{9\;}}{2\times 1}=\frac{1\pm 3}{2} \end{gather} \]
as duas raízes da equação são
\[ \begin{gather} t_1=2\;\mathrm s\\ e\\ t_2=-1\;\mathrm s \end{gather} \]

Como não existe tempo negativo desprezamos a segunda raiz, o instante de encontro será
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {t=2\;\mathrm s} \end{gather} \]

b) No Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.) a equação da velocidade é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v=v_0+at} \end{gather} \]
  • Partícula 1:
\[ \begin{gather} v_1=v_{01}+a_1t\\[5pt] v_1=-10+10t \tag{I} \end{gather} \]
substituindo o instante de tempo encontrado no item (a)
\[ \begin{gather} v_1=-10+10\times 2 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v_1=10\;\mathrm{cm/s}} \end{gather} \]
A aceleração é constante e igual à
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a_1=10\;\mathrm{cm/s^2}} \end{gather} \]
  • Partícula 2:
\[ \begin{gather} v_2=v_{02}+a_2t\\[5pt] v_2=5-20t\tag{II} \end{gather} \]
substituindo o instante de tempo encontrado no item (a)
\[ \begin{gather} v_2=5-20\times 2 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v_2=-35\;\mathrm{cm/s}} \end{gather} \]
A aceleração é constante e igual à
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a_2=-20\;\mathrm{cm/s^2}} \end{gather} \]

c) Substituindo o instante de encontro na equação da partícula 1
\[ \begin{gather} S_1=-10.2+5\times 2^2\\[5pt] S_1=-20+5\times 4 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {S_1=0} \end{gather} \]
as partículas se encontram na origem do sistema.

Observação: se tivéssemos substituído na equação da partícula 2 o resultado seria o mesmo
\[ \begin{gather} S_2=30+5\times 2-10\times 2^2\\[5pt] S_2=30+10-10\times 4\\[5pt] S_2=0 \end{gather} \]

d) Igualando a equações (I) e (II), temos o instante em as velocidades da partículas são iguais
\[ \begin{gather} v_1=v_2\\[5pt] -10+10t=5-20t\\[5pt] 10t+20t=5+10\\[5pt] 30t=15\\[5pt] t=\frac{15}{30} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {t=0,5\;\text{s}} \end{gather} \]
Substituindo esse instante de tempo nas equações dadas no problema
\[ \begin{gather} S_1=-10\times 0,5+5\times 0,5^2\\[5pt] S_1=-5+5\times 0,25\\[5pt] S_1=-5+1,25 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {S_1=-3,75\;\mathrm{cm}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} S_2=30+5\times 0,5-10\times 0,5^2\\[5pt] S_2=30+2,5-10\times 0,25\\[5pt] S_2=30+2,5-2,5 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {S_2=30\;\mathrm{cm}} \end{gather} \]

e) No instante em as partículas mudam de sentido suas velocidades são iguais a zero (v1 = 0 e v2 = 0), substituindo essas condições nas equações (I) e (II)
\[ \begin{gather} 0=-10+10t\\[5pt] t=\frac{10}{10} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {t=1\;\text{s}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} 0=5-20t\\[5pt] t=\frac{5}{20} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {t=0,25\;\text{s}} \end{gather} \]
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