Duas partículas movem-se sobre a mesma reta, com movimento dado pelas seguintes equações
\[
\begin{gather}
S_1=-10t+5t^2 \\[10pt]
S_2=30+5t-10t^2
\end{gather}
\]
as posições são medidas em centímetros a partir de uma origem comum, e o tempo t é medido em segundos.
Determinar:
a) O instante em que os dois móveis se encontram;
b) As velocidades e acelerações de ambos nesse instante;
c) A posição do ponto de encontro;
d) Quando e onde são iguais as velocidades das duas partículas;
e) Os instantes em que os móveis mudam de sentido.
Solução:
As equações dadas no problema mostram que as partículas estão em
Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.), dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{S=S_0+v_0 t+\frac{a}{2}t^2}
\end{gather}
\]
Fazendo as seguintes associações
\[
\begin{array}{c}
S_1 & = & 0 & - & 10 & t & + & 5 & t^2\\
\downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & & \downarrow \\
S & = & S_0 & + & v_0 & t & + & \dfrac{a}{2} & t^2
\end{array}
\]
a posição inicial da partícula 1 é S01 = 0, a velocidade inicial
v01 = −10 cm/s e a aceleração
\( \frac{a_1}{2}=5\Rightarrow a_1=2\times 5\Rightarrow a_1=10\;\mathrm{cm/s^2} \)
\[
\begin{gather}
S_2 & = & 30 & + & 5 & t & - & 10 & t^2 \\
\downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & & \downarrow & \\
\;S & = & S_0 & + & v_0 & t & + & \dfrac{a}{2} & t^2
\end{gather}
\]
a posição inicial da partícula 2 é S02 = 30 cm, a velocidade inicial
v02 = 5 cm/s e a aceleração
\( \frac{a_2}{2}=-10\Rightarrow a_2=-2\times 10\Rightarrow a_2=-20\;\mathrm{cm/s^2} \)
a) No instante em que as partículas se encontram elas estão na mesma posição, aplicando a condição de
igualdade para as equações dadas para as partícula
\[
\begin{gather}
S_1=S_2 \\[5pt]
-10t+5t^2=30+5t-10t^2 \\[5pt]
-10t+5t^2-30-5t+10t^2=0 \\[5pt]
15t^2-15t-30=0
\end{gather}
\]
dividindo a equação por 15
\[
\begin{gather}
\qquad\qquad 15t^2-15t-30=0 \qquad (\div15) \\[5pt]
t^2-t-2=0
\end{gather}
\]
Esta é uma Equação de 2.º Grau onde a incógnita é o valor desejado do tempo.
Solução da
Equação de 2.º Grau
\( t^2-t-2=0 \)
\[
\begin{gather}
\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4\times 1\times(-2)=1+8=9 \\[5pt]
t=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta\;}}{2a}=\frac{-(-1)\pm\sqrt{9\;}}{2\times 1}=\frac{1\pm 3}{2}
\end{gather}
\]
as duas raízes da equação são
\[
\begin{gather}
t_1=2\;\mathrm s\\
e\\
t_2=-1\;\mathrm s
\end{gather}
\]
Como não existe tempo negativo desprezamos a segunda raiz, o instante de encontro será
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{t=2\;\mathrm s}
\end{gather}
\]
b) No Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.) a equação da velocidade é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v=v_0+at}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
v_1=v_{01}+a_1t \\[5pt]
v_1=-10+10t \tag{I}
\end{gather}
\]
substituindo o instante de tempo encontrado no item (a)
\[
\begin{gather}
v_1=-10+10\times 2
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{v_1=10\;\mathrm{cm/s}}
\end{gather}
\]
A aceleração é constante e igual à
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{a_1=10\;\mathrm{cm/s^2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
v_2=v_{02}+a_2t \\[5pt]
v_2=5-20t \tag{II}
\end{gather}
\]
substituindo o instante de tempo encontrado no item (a)
\[
\begin{gather}
v_2=5-20\times 2
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{v_2=-35\;\mathrm{cm/s}}
\end{gather}
\]
A aceleração é constante e igual à
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{a_2=-20\;\mathrm{cm/s^2}}
\end{gather}
\]
c) Substituindo o instante de encontro na equação da partícula 1
\[
\begin{gather}
S_1=-10.2+5\times 2^2 \\[5pt]
S_1=-20+5\times 4
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{S_1=0}
\end{gather}
\]
as partículas se encontram na origem do sistema.
Observação: se tivéssemos substituído na equação da partícula 2 o resultado seria o mesmo
\[
\begin{gather}
S_2=30+5\times 2-10\times 2^2 \\[5pt]
S_2=30+10-10\times 4 \\[5pt]
S_2=0
\end{gather}
\]
d) Igualando a equações (I) e (II), temos o instante em as velocidades da partículas são iguais
\[
\begin{gather}
v_1=v_2 \\[5pt]
-10+10t=5-20t \\[5pt]
10t+20t=5+10 \\[5pt]
30t=15 \\[5pt]
t=\frac{15}{30}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{t=0,5\;\mathrm s}
\end{gather}
\]
Substituindo esse instante de tempo nas equações dadas no problema
\[
\begin{gather}
S_1=-10\times 0,5+5\times 0,5^2 \\[5pt]
S_1=-5+5\times 0,25 \\[5pt]
S_1=-5+1,25
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{S_1=-3,75\;\mathrm{cm}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
S_2=30+5\times 0,5-10\times 0,5^2 \\[5pt]
S_2=30+2,5-10\times 0,25 \\[5pt]
S_2=30+2,5-2,5
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{S_2=30\;\mathrm{cm}}
\end{gather}
\]
e) No instante em as partículas mudam de sentido suas velocidades são iguais a zero
(v1 = 0 e v2 = 0), substituindo essas condições nas equações
(I) e (II)
\[
\begin{gather}
0=-10+10t \\[5pt]
t=\frac{10}{10}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{t=1\;\mathrm s}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
0=5-20t \\[5pt]
t=\frac{5}{20}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{t=0,25\;\mathrm s}
\end{gather}
\]
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