Exercício Resolvido de Movimento Unidimensional

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Exercício Resolvido de Movimento Unidimensional

Duas partículas movem-se sobre a mesma reta, com movimento dado pelas seguintes equações

\begin{matrix} S_{1} = - 10 t + 5 t^{2} \\ S_{2} = 30 + 5 t - 10 t^{2} \end{matrix}

as posições são medidas em centímetros a partir de uma origem comum, e o tempo t é medido em segundos. Determinar:
a) O instante em que os dois móveis se encontram;
b) As velocidades e acelerações de ambos nesse instante;
c) A posição do ponto de encontro;
d) Quando e onde são iguais as velocidades das duas partículas;
e) Os instantes em que os móveis mudam de sentido.

Solução

As equações dadas no problema mostram que as partículas estão em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.), dado por

\begin{matrix} S = S_{0} + v_{0} t + \frac{a}{2} t^{2} \end{matrix}

Fazendo as seguintes associações

\begin{matrix} S_{1} & = & 0 & - & 10 & t & + & 5 & t^{2} \\ ↓ & ↓ & ↓ & ↓ \\ S & = & S_{0} & + & v_{0} & t & + & \frac{a}{2} & t^{2} \end{matrix}

a posição inicial da partícula 1 é S₀₁ = 0, a velocidade inicial v₀₁ = −10 cm/s e a aceleração

\frac{a_{1}}{2} = 5 \Rightarrow a_{1} = 2 \times 5 \Rightarrow a_{1} = 10 cm / s^{2}

\begin{matrix} S_{2} & = & 30 & + & 5 & t & - & 10 & t^{2} \\ ↓ & ↓ & ↓ & ↓ \\ S & = & S_{0} & + & v_{0} & t & + & \frac{a}{2} & t^{2} \end{matrix}

a posição inicial da partícula 2 é S₀₂ = 30 cm, a velocidade inicial v₀₂ = 5 cm/s e a aceleração

\frac{a_{2}}{2} = - 10 \Rightarrow a_{2} = - 2 \times 10 \Rightarrow a_{2} = - 20 cm / s^{2}

a) No instante em que as partículas se encontram elas estão na mesma posição, aplicando a condição de igualdade para as equações dadas para as partículas

\begin{matrix} S_{1} = S_{2} \\ - 10 t + 5 t^{2} = 30 + 5 t - 10 t^{2} \\ - 10 t + 5 t^{2} - 30 - 5 t + 10 t^{2} = 0 \\ 15 t^{2} - 15 t - 30 = 0 \end{matrix}

dividindo a equação por 15

\begin{matrix} 15 t^{2} - 15 t - 30 = 0 (\div 15) \\ t^{2} - t - 2 = 0 \end{matrix}

Esta é uma Equação de 2.º Grau onde a incógnita é o valor desejado do tempo.

Solução da Equação de 2.º Grau

t^{2} - t - 2 = 0

\begin{matrix} Δ = b^{2} - 4 a c = (- 1)^{2} - 4 \times 1 \times (- 2) = 1 + 8 = 9 \\ t = \frac{- b \pm \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{- (- 1) \pm \sqrt{9}}{2 \times 1} = \frac{1 \pm 3}{2} \end{matrix}

as duas raízes da equação são

\begin{matrix} t_{1} = 2 s \\ e \\ t_{2} = - 1 s \end{matrix}

Como não existe tempo negativo desprezamos a segunda raiz, o instante de encontro será

\begin{matrix} t = 2 s \end{matrix}

b) No Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.) a equação da velocidade é dada por

\begin{matrix} v = v_{0} + a t \end{matrix}

Partícula 1:

\begin{matrix} v_{1} = v_{01} + a_{1} t \\ (I) & v_{1} = - 10 + 10 t \end{matrix}

substituindo o instante de tempo encontrado no item (a)

\begin{matrix} v_{1} = - 10 + 10 \times 2 \end{matrix}

\begin{matrix} v_{1} = 10 cm / s \end{matrix}

A aceleração é constante e igual à

\begin{matrix} a_{1} = 10 cm / s^{2} \end{matrix}

Partícula 2:

\begin{matrix} v_{2} = v_{02} + a_{2} t \\ (II) & v_{2} = 5 - 20 t \end{matrix}

substituindo o instante de tempo encontrado no item (a)

\begin{matrix} v_{2} = 5 - 20 \times 2 \end{matrix}

\begin{matrix} v_{2} = - 35 cm / s \end{matrix}

A aceleração é constante e igual à

\begin{matrix} a_{2} = - 20 cm / s^{2} \end{matrix}

c) Substituindo o instante de encontro na equação da partícula 1

\begin{matrix} S_{1} = - 10.2 + 5 \times 2^{2} \\ S_{1} = - 20 + 5 \times 4 \end{matrix}

\begin{matrix} S_{1} = 0 \end{matrix}

as partículas se encontram na origem do sistema.

Observação: se tivéssemos substituído na equação da partícula 2 o resultado seria o mesmo

\begin{matrix} S_{2} = 30 + 5 \times 2 - 10 \times 2^{2} \\ S_{2} = 30 + 10 - 10 \times 4 \\ S_{2} = 0 \end{matrix}

d) Igualando a equações (I) e (II), temos o instante em as velocidades da partículas são iguais

\begin{matrix} v_{1} = v_{2} \\ - 10 + 10 t = 5 - 20 t \\ 10 t + 20 t = 5 + 10 \\ 30 t = 15 \\ t = \frac{15}{30} \end{matrix}

\begin{matrix} t = 0, 5 s \end{matrix}

Substituindo esse instante de tempo nas equações dadas no problema

\begin{matrix} S_{1} = - 10 \times 0, 5 + 5 \times 0, 5^{2} \\ S_{1} = - 5 + 5 \times 0, 25 \\ S_{1} = - 5 + 1, 25 \end{matrix}

\begin{matrix} S_{1} = - 3, 75 cm \end{matrix}

\begin{matrix} S_{2} = 30 + 5 \times 0, 5 - 10 \times 0, 5^{2} \\ S_{2} = 30 + 2, 5 - 10 \times 0, 25 \\ S_{2} = 30 + 2, 5 - 2, 5 \end{matrix}

\begin{matrix} S_{2} = 30 cm \end{matrix}

e) No instante em as partículas mudam de sentido suas velocidades são iguais a zero (v₁ = 0 e v₂ = 0), substituindo essas condições nas equações (I) e (II)

\begin{matrix} 0 = - 10 + 10 t \\ t = \frac{10}{10} \end{matrix}

\begin{matrix} t = 1 s \end{matrix}

\begin{matrix} 0 = 5 - 20 t \\ t = \frac{5}{20} \end{matrix}

\begin{matrix} t = 0, 25 s \end{matrix}

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