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FISICAEXE
Esercizio Risolto di Moto Unidimensionale
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Un razzo viene lanciato verticalmente, dal suolo, con velocità iniziale di 200 m/s, dopo 10 secondi esplode. Un osservatore si trova a una distanza di 2000 metri sulla stessa orizzontale del punto di lancio. Dopo quanto tempo l’osservatore sentirà il rumore dell’esplosione? La velocità del suono nell’aria è uguale a 340 m/s.

Dati del problema:

  • Velocità iniziale del razzo: v0 = 200 m/s;
  • Intervallo di tempo fino all’esplosione: t = 10 s;
  • Distanza dell’osservatore dal punto di lancio: d = 2000 m;
  • Accelerazione di gravità: g = 9,8 m/s2;
  • Velocità del suono nell’aria: vs = 340 m/s.

Schema del problema:

Il razzo sale fino a un’altezza h dove esplode, il suono dell’esplosione viaggia attraverso l’aria durante un intervallo di tempo ts fino ad arrivare a un osservatore sul suolo (Figura 1).

Figura 1

Soluzione:

Innanzitutto dobbiamo trovare l’altezza raggiunta dal razzo. Scegliamo un sistema di riferimento con origine sul suolo e orientato verso l’alto (Figura 2).
Il moto del razzo è un lancio verticale, l’altezza h dell’esplosione sarà data da
\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {S=S_0+v_0 t-\frac{g}{2}\;t^2} \end{gather} \]
dove l’accelerazione di gravità ha segno negativo perché ha verso opposto al verso del sistema di riferimento, essendo S=h e S0}=0
Figura 2
\[ \begin{gather} h=0+200\times 10-\frac{9,8}{2}\times 10^{2} \\[5pt] h=2000-490 \\[5pt] h=1510\;\mathrm m \end{gather} \]
La distanza H dal punto dell’esplosione all’osservatore sarà data dal Teorema di Pitagora (Figura 3)
\[ \begin{gather} H^2=1470^2+2000^2 \\[5pt] H^2=2160900+4000000 \\[5pt] H^2=6160900 \\[5pt] H=\sqrt{6160900\;} \\[5pt] H\approx 2482\;\mathrm m \end{gather} \]
Figura 3

L’onda sonora non subisce l’azione della gravità, pertanto si muove con velocità costante. Il sistema può essere rappresentato da un punto del fronte d’onda in Moto Rettilineo Uniforme.
Scegliamo un sistema di riferimento con origine nel punto in cui avviene l’esplosione orientato verso destra. Il punto si sposta con velocità costante fino al punto in cui si trova l’osservatore (Figura 4)

Figura 4

Essendo S = 2482 m e S0 = 0, l’equazione della posizione in funzione del tempo sarà data da

\[ \begin{gather} S=S_0+v_{\small S} t_{\small S} \\[5pt] 2482=0+340t_{\small S} \\[5pt] t_{\small S}=\frac{2482}{340} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {t_{\small S}\approx 7,3\;\mathrm s} \end{gather} \]
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