Menü
FISICAEXE
Gelöste Aufgabe zur eindimensionalen Bewegung
Werbung

Eine Rakete wird vom Boden aus vertikal mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 200 m/s gestartet und explodiert nach 10 Sekunden. Ein Beobachter befindet sich in einer Entfernung von 2000 Metern auf derselben Horizontalen wie der Abschusspunkt. Nach welcher Zeit wird der Beobachter das Geräusch der Explosion hören? Die Schallgeschwindigkeit in der Luft beträgt 340 m/s.

Gegebene Daten:

  • Anfangsgeschwindigkeit der Rakete: v0 = 200 m/s;
  • Zeitintervall bis zur Explosion: t = 10 s;
  • Entfernung des Beobachters vom Abschusspunkt: d = 2000 m;
  • Erdbeschleunigung: g = 9,8 m/s2;
  • Schallgeschwindigkeit in der Luft: vs = 340 m/s.

Schema des Problems:

Die Rakete steigt bis zu einer Höhe h auf, in der sie explodiert. Der Schall der Explosion breitet sich während eines Zeitintervalls ts durch die Luft aus, bis er einen Beobachter am Boden erreicht (Abbildung 1).

Abb. 1

Lösung

Zuerst müssen wir die von der Rakete erreichte Höhe bestimmen. Wir wählen ein Bezugssystem mit Ursprung am Boden, das nach oben orientiert ist (Abbildung 2).
Die Bewegung der Rakete ist ein vertikaler Wurf. Die Höhe h der Explosion wird gegeben durch
\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {S=S_0+v_0 t-\frac{g}{2}\;t^2} \end{gather} \]
wobei die Erdbeschleunigung ein negatives Vorzeichen hat, da ihre Richtung der Richtung des Bezugssystems entgegengesetzt ist, wobei S=h und S0}=0 gilt.
Abb. 2
\[ \begin{gather} h=0+200\times 10-\frac{9,8}{2}\times 10^{2} \\[5pt] h=2000-490 \\[5pt] h=1510\;\mathrm m \end{gather} \]
Die Entfernung H vom Explosionspunkt zum Beobachter wird mithilfe des Satzes des Pythagoras bestimmt (Abbildung 3).
\[ \begin{gather} H^2=1470^2+2000^2 \\[5pt] H^2=2160900+4000000 \\[5pt] H^2=6160900 \\[5pt] H=\sqrt{6160900\;} \\[5pt] H\approx 2482\;\mathrm m \end{gather} \]
Abb. 3

Die Schallwelle unterliegt nicht der Wirkung der Erdbeschleunigung; daher bewegt sie sich mit konstanter Geschwindigkeit. Das System kann durch einen Punkt an der Wellenfront dargestellt werden, der sich in einer Gleichförmigen Geradlinigen Bewegung befindet.
Wir wählen ein Bezugssystem mit Ursprung am Explosionspunkt, das nach rechts orientiert ist. Der Punkt bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit bis zu dem Ort, an dem sich der Beobachter befindet (Abbildung 4).

Abb. 4

Da S = 2482 m und S0 = 0 gilt, ist die Gleichung der Position als Funktion der Zeit gegeben durch

\[ \begin{gather} S=S_0+v_{\small S} t_{\small S} \\[5pt] 2482=0+340t_{\small S} \\[5pt] t_{\small S}=\frac{2482}{340} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {t_{\small S}\approx 7,3\;\mathrm s} \end{gather} \]
Werbung