Esercizio Risolto di Moto Unidimensionale

FISICAEXE

Due barche partono dallo stesso punto e si muovono sulla stessa retta, con velocità costanti di 25 km/h e 35 km/h. La comunicazione tra le due barche è possibile, via radio, finché la distanza tra loro non supera 600 km. Determinare il tempo durante il quale le due barche possono comunicare, ammettendo che:
a) Le due barche si muovono nello stesso senso;
b) La barca più lenta parte due ore prima dell’altra e si muove nello stesso senso;
c) Le due barche partono nello stesso momento e si muovono in sensi opposti.

Dati del problema:

Velocità della barca 1: v₁ = 25 km/h;
Velocità della barca 2: v₂ = 35 km/h;
Distanza massima di comunicazione: Δt = 600 km.

Schema del problema:

Scegliamo un sistema di riferimento con l’asse positivo orientato verso destra (Figura 1).

Figura 1

Considerando che il punto da cui partono le barche è l’origine del sistema di riferimento S₀₁ = S₀₂ = 0

Soluzione:

a) Le barche si muovono con velocità costanti, sono in Moto Rettilineo Uniforme, dato da

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {S=S_0+vt} \end{gather} \]

scrivendo questa equazione per ciascuna delle barche

\[ \begin{gather} S_1=S_{01}+v_1 t \\[5pt] S_1=0+25t \\[5pt] S_1=25t \tag{I-a} \\[10pt] \end{gather} \]

\[ \begin{gather} S_2=S_{02}+v_2 t \\[5pt] S_2=0+35t \\[5pt] S_2=35t \tag{I-b} \end{gather} \]

La barca 2, di maggiore velocità, si allontana dalla barca 1 fino a quando la distanza tra le due diventa maggiore di 600 km e la comunicazione non è più possibile (Figura 2).

Figura 2

Calcolando la differenza tra le equazioni (I-a) e (I-b)

\[ \begin{gather} \frac{ \begin{align} \qquad\quad S_2 &=35t\\ \mathrm{(-)}\qquad S_1 &=25t \end{align} } {S_2-S_1=35t-25t} \end{gather} \]

Essendo ΔS = S₂ − S₁ = 600 km

\[ \begin{gather} \Delta S=10t \\[5pt] 10t=600 \\[5pt] t=\frac{600}{10} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {t=60\;\mathrm h} \end{gather} \]

b) La barca 1 parte dall’origine (S₀₁ = 0) e naviga per 2 h fino a raggiungere una posizione S₁ sulla traiettoria (Figura 3).

Figura 3

Scrivendo l’equazione del moto per questa prima parte del moto

\[ \begin{gather} S_1=S_{01}+v_1 t \\[5pt] S_1=0+25t \\[5pt] S_1=25t \end{gather} \]

dopo due ore (t = 2 h) la barca si troverà nella posizione

\[ \begin{gather} S_1=25\times 2 \\[5pt] S_1=50\;\mathrm{km} \end{gather} \]

In questo istante la barca 2 parte dall’origine (S₀₂ = 0) e la posizione della barca 1 trovata sopra diventa la posizione iniziale per la seconda parte del moto (S₀₁ = 50 - Figura 4)

Figura 4

La barca 2 supera la barca 1 e si allontana fino a quando la comunicazione tra loro diventa impossibile, quindi le equazioni del moto delle barche saranno

\[ \begin{gather} S_1=S_{01}+v_1 t \\[5pt] S_1=50+25t \tag{II-a} \\[10pt] \end{gather} \]

\[ \begin{gather} S_2=S_{02}+v_2 t \\[5pt] S_2=0+35t \\[5pt] S_2=35t \tag{II-b} \end{gather} \]

Calcolando la differenza tra le due equazioni (II-a) e (II-b)

\[ \begin{gather} \frac{ \begin{align} S_2=35t\\ (\mathrm -)\qquad S_1=50+25t \end{align} } {S_2-S_1=35t-50-25t} \\[5pt] \Delta S=35t-50-25t \\[5pt] 10t=600+50 \\[5pt] t=\frac{650}{10} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {t=65\;\mathrm h} \end{gather} \]

c) Supponiamo che la barca 1 parta nel senso contrario all’orientamento della traiettoria, la sua velocità sarà negativa (v₁=−25 km/h - Figura 4).

Figura 4

Le equazioni di questo moto per le due barche saranno

\[ \begin{gather} S_1=S_{01}+v_1 t \\[5pt] S_1=0-25t \\[5pt] S_1=-25t \tag{III-a} \\[10pt] S_2=S_{02}+v_2 t \\[5pt] S_2=0+35t \\[5pt] S_2=35t \tag{III-b} \end{gather} \]

Calcolando la differenza tra le due equazioni (III-a) e (III-b)

\[ \begin{gather} \frac{ \begin{align} S_2 &=35t\\ \mathrm{(-)}\qquad S_1 &=-25t \end{align} } {S_2-S_1=35t+25t} \\[5pt] \Delta S=60t \\[5pt] 60t=600 \\[5pt] t=\frac{600}{60} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {t=10\;\mathrm h} \end{gather} \]