Exercício Resolvido de Movimento Unidimensional

Dois barcos partem de um mesmo ponto, e se deslocam sobre a uma mesma reta, com velocidades constantes de 25 km/h e 35 km/h. A comunicação entre os dois barcos é possível, pelo rádio, enquanto a distância entre eles não ultrapassar 600 km. Determinar o tempo durante o qual os dois barcos podem se comunicar, admitindo que:
a) Os dois barcos movem-se no mesmo sentido;
b) O barco mais lento parte duas horas antes do outro e move-se no mesmo sentido;
c) Os dois barcos partem ao mesmo tempo e movem-se em sentidos opostos.

Dados do problema:

Velocidade do barco 1: v₁ = 25 km/h;
Velocidade do barco 2: v₂ = 35 km/h;
Distância máxima de comunicação: Δt = 600 km.

Esquema do problema:

Adotamos um sistema de referência com o eixo positivo orientado para a direita (Figura 1).

Figura 1

Considerando o ponto de onde partem os barcos é a origem do referencial S₀₁ = S₀₂ = 0

Solução:

a) Os barcos movem-se com velocidades constantes, estão em Movimento Retilíneo Uniforme (M.R.U.), dado por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {S=S_0+vt} \end{gather} \]

escrevendo essa equação para cada um dos barcos

\[ \begin{gather} S_1=S_{01}+v_1 t \\[5pt] S_1=0+25t \\[5pt] S_1=25t \tag{I-a} \\[10pt] \end{gather} \]

\[ \begin{gather} S_2=S_{02}+v_2 t \\[5pt] S_2=0+35t \\[5pt] S_2=35t \tag{I-b} \end{gather} \]

O barco 2 de maior velocidade se afasta do barco 1 até que distância entre os dois seja maior que 600 km e a comunicação deixa de ser possível (Figura 2).

Figura 2

Calculando a diferença entre as equações (I-a) e (I-b)

\[ \begin{gather} \frac{ \begin{align} \qquad\quad S_2 &=35t\\ \mathrm{(-)}\qquad S_1 &=25t \end{align} } {S_2-S_1=35t-25t} \end{gather} \]

Sendo ΔS = S₂ − S₁ = 600 km

\[ \begin{gather} \Delta S=10t \\[5pt] 10t=600 \\[5pt] t=\frac{600}{10} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {t=60\;\mathrm h} \end{gather} \]

b) O barco 1 parte da origem (S₀₁ = 0) e navega durante 2 h até atingir uma posição S₁ na trajetória (Figura 3).

Figura 3

Escrevendo a equação de movimento para esta primeira parte do movimento

\[ \begin{gather} S_1=S_{01}+v_1 t \\[5pt] S_1=0+25t \\[5pt] S_1=25t \end{gather} \]

depois de duas horas (t = 2 h) o barco estará na posição

\[ \begin{gather} S_1=25\times 2 \\[5pt] S_1=50\;\mathrm{km} \end{gather} \]

Neste instante o barco 2 parte da origem (S₀₂ = 0) e a posição do barco 1 encontrada acima passa a ser a posição inicial para a segunda parte do movimento (S₀₁ = 50 - Figura 4)

Figura 4

O barco 2 ultrapassa o barco 1 e se afasta até a comunicação entre eles ser impossível, assim as equações de movimento dos barcos serão

\[ \begin{gather} S_1=S_{01}+v_1 t \\[5pt] S_1=50+25t \tag{II-a} \\[10pt] \end{gather} \]

\[ \begin{gather} S_2=S_{02}+v_2 t \\[5pt] S_2=0+35t \\[5pt] S_2=35t \tag{II-b} \end{gather} \]

Calculando a diferença entre as duas equações (II-a) e (II-b)

\[ \begin{gather} \frac{ \begin{align} S_2=35t\\ (\mathrm -)\qquad S_1=50+25t \end{align} } {S_2-S_1=35t-50-25t} \\[5pt] \Delta S=35t-50-25t \\[5pt] 10t=600+50 \\[5pt] t=\frac{650}{10} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {t=65\;\mathrm h} \end{gather} \]

c) Vamos adotar que o barco 1 parte no sentido contrário à orientação da trajetória, sua velocidade será negativa (v₁=−25 km/h - Figura 4).

Figura 4

As equações desse movimento para os dois barcos serão

\[ \begin{gather} S_1=S_{01}+v_1 t \\[5pt] S_1=0-25t \\[5pt] S_1=-25t \tag{III-a} \[10pt] S_2=S_{02}+v_2 t \\[5pt] S_2=0+35t \\[5pt] S_2=35t \tag{III-b} \end{gather} \]

Calculando a diferença entre as duas equações (III-a) e (III-b)

\[ \begin{gather} \frac{ \begin{align} S_2 &=35t\\ \mathrm{(-)}\qquad S_1 &=-25t \end{align} } {S_2-S_1=35t+25t} \\[5pt] \Delta S=60t \\[5pt] 60t=600 \\[5pt] t=\frac{600}{60} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {t=10\;\mathrm h} \end{gather} \]