Esercizio Risolto di Moto Unidimensionale

FISICAEXE

Un corpo parte con velocità iniziale di 1 m/s in moto rettilineo, è dato il grafico dell'accelerazione in funzione del tempo a partire dall'inizio del moto.

Determinare:
a) La velocità in t = 8 s;
b) La velocità in t = 12 s;
c) La velocità in t = 14 s;
d) Tra quale intervallo di tempo la velocità diminuisce.

Dati del problema:

Velocità iniziale del corpo: v₀ = 1 m/s.

Soluzione:

a) In un grafico dell'accelerazione in funzione del tempo, a = f(t), la variazione della velocità è uguale all'area sotto la curva.

Figura 1

Possiamo dividere il grafico nelle seguenti aree (Figura 1):

Tra gli istanti 0 s e 6 s, un trapezio di area uguale a

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {A_1=\frac{(B+b)h}{2}} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} A_1=\frac{[6+(6-2)]\times 2}{2} \\[5pt] A_1=\frac{[6+4]\times 2}{2} \\[5pt] A_1=\frac{10\times 2}{2} \\[5pt] A_1=10 \end{gather} \]

Tra gli istanti 6 s e 8 s, un trapezio di area uguale a

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {A_2=\frac{(B+b)h}{2}} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} A_2=\frac{(4+2)\times(8-6)}{2} \\[5pt] A_2=\frac{6\times2}{2} \\[5pt] A_2=6 \end{gather} \]

La variazione della velocità sarà l'area totale data dalla somma delle aree trovate.

\[ \begin{gather} \Delta v=A_1+A_2 \\[5pt] \Delta v=10+6 \\[5pt] \Delta v=16\;\mathrm{m/s} \end{gather} \]

Dalla definizione di variazione della velocità

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {\Delta v=|\;v_f-v_i\;|} \tag{I} \end{gather} \]

usando la variazione della velocità trovata sopra e la velocità iniziale data nel problema (v_i = v₀ = 1 m/s), la velocità in t = 8 s sarà

\[ \begin{gather} 16=|\;v_8-1\;| \\[5pt] 16=v_8-1 \\[5pt] v_8=16+1 \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {v_8=17\;\mathrm{m/s}} \end{gather} \]

b) Per trovare la velocità in t = 12 s dobbiamo trovare la variazione della velocità tra t = 8 s e t = 12 s (Figura 2).

Figura 2

Tra gli istanti 8 s e 12 s, abbiamo un triangolo di area uguale a

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {A_3=\frac{Bh}{2}} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} A_3=\frac{(12-8)\times 4}{2} \\[5pt] A_3=\frac{4\times 4}{2} \\[5pt] A_3=8 \end{gather} \]

Essendo quest'area uguale alla variazione della velocità (Δv) e la velocità trovata al punto (a) come velocità iniziale di questa parte del moto (v_i = v₈ = 17 m/s), l'equazione (I) ci dà

\[ \begin{gather} 8=|\;v_{\;12}-17\;| \\[5pt] 8=v_{12}-17 \\[5pt] v_{12}=8+17 \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {v_{12}=25\;\mathrm{m/s}} \end{gather} \]

c) Tra 12 s e 14 s l'accelerazione è nulla (a = 0), pertanto non c'è cambiamento nella velocità del corpo, la sua velocità rimane costante.

d) La velocità non diminuisce in nessun intervallo di tempo.

Osservazione: Tra gli istanti 8 s e 12 s, il grafico presenta una retta in cui l'accelerazione diminuisce con il tempo. Ma ciò non significa che la velocità diminuisca, la retta è al di sopra dell'asse delle ascisse (asse del tempo), quindi l'accelerazione ha valore positivo (a>0) e la velocità aumenta a un tasso minore. Affinché la velocità diminuisse sarebbe necessario che la retta fosse al di sotto dell'asse delle ascisse, l'accelerazione avrebbe valore negativo (a<0) e il corpo sarebbe frenato.