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FISICAEXE
Gelöste Aufgabe zur eindimensionalen Bewegung
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Ein Körper startet mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 1 m/s in einer geradlinigen Bewegung. Der Graph der Beschleunigung als Funktion der Zeit ab dem Beginn der Bewegung ist gegeben.

Zu bestimmen:
a) Die Geschwindigkeit bei t = 8 s;
b) Die Geschwindigkeit bei t = 12 s;
c) Die Geschwindigkeit bei t = 14 s;
d) In welchem Zeitintervall die Geschwindigkeit abnimmt.

Gegebene Daten:

  • Anfangsgeschwindigkeit des Körpers: v0 = 1 m/s.

Lösung:

a) In einem Beschleunigungs-Zeit-Diagramm, a = f(t), ist die Änderung der Geschwindigkeit gleich der Fläche unter der Kurve.

Abb. 1

Wir können den Graphen in die folgenden Flächen unterteilen (Abbildung 1):

  • Zwischen den Zeitpunkten 0 s und 6 s ein Trapez mit einer Fläche gleich
\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {A_1=\frac{(B+b)h}{2}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} A_1=\frac{[6+(6-2)]\times 2}{2} \\[5pt] A_1=\frac{[6+4]\times 2}{2} \\[5pt] A_1=\frac{10\times 2}{2} \\[5pt] A_1=10 \end{gather} \]
  • Zwischen den Zeitpunkten 6 s und 8 s ein Trapez mit einer Fläche gleich
\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {A_2=\frac{(B+b)h}{2}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} A_2=\frac{(4+2)\times(8-6)}{2} \\[5pt] A_2=\frac{6\times2}{2} \\[5pt] A_2=6 \end{gather} \]

Die Änderung der Geschwindigkeit ist die Gesamtfläche, die durch die Summe der ermittelten Flächen gegeben ist.

\[ \begin{gather} \Delta v=A_1+A_2 \\[5pt] \Delta v=10+6 \\[5pt] \Delta v=16\;\mathrm{m/s} \end{gather} \]

Aus der Definition der Änderung der Geschwindigkeit

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {\Delta v=|\;v_f-v_i\;|} \tag{I} \end{gather} \]

unter Verwendung der oben ermittelten Änderung der Geschwindigkeit und der im Problem gegebenen Anfangsgeschwindigkeit (vi = v0 = 1 m/s) ergibt sich für die Geschwindigkeit bei t = 8 s

\[ \begin{gather} 16=|\;v_8-1\;| \\[5pt] 16=v_8-1 \\[5pt] v_8=16+1 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {v_8=17\;\mathrm{m/s}} \end{gather} \]

b) Um die Geschwindigkeit bei t = 12 s zu bestimmen, müssen wir die Änderung der Geschwindigkeit zwischen t = 8 s und t = 12 s bestimmen (Abbildung 2).

Abb. 2
  • Zwischen den Zeitpunkten 8 s und 12 s haben wir ein Dreieck mit einer Fläche gleich
\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {A_3=\frac{Bh}{2}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} A_3=\frac{(12-8)\times 4}{2} \\[5pt] A_3=\frac{4\times 4}{2} \\[5pt] A_3=8 \end{gather} \]

Da diese Fläche gleich der Änderung der Geschwindigkeit (Δv) ist und die in Teilaufgabe (a) ermittelte Geschwindigkeit die Anfangsgeschwindigkeit dieses Abschnitts der Bewegung ist (vi = v8 = 17 m/s), ergibt sich aus Gleichung (I)

\[ \begin{gather} 8=|\;v_{\;12}-17\;| \\[5pt] 8=v_{12}-17 \\[5pt] v_{12}=8+17 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {v_{12}=25\;\mathrm{m/s}} \end{gather} \]

c) Zwischen 12 s und 14 s ist die Beschleunigung null (a = 0), daher gibt es keine Änderung der Geschwindigkeit des Körpers; seine Geschwindigkeit bleibt konstant.

d) Die Geschwindigkeit nimmt in keinem Zeitintervall ab.

Anmerkung: Zwischen den Zeitpunkten 8 s und 12 s zeigt der Graph eine Gerade, bei der die Beschleunigung mit der Zeit abnimmt. Das bedeutet jedoch nicht, dass die Geschwindigkeit abnimmt. Die Gerade liegt oberhalb der Abszissenachse (Zeitachse), daher hat die Beschleunigung einen positiven Wert (a>0) und die Geschwindigkeit nimmt mit einer geringeren Rate zu. Damit die Geschwindigkeit abnimmt, müsste die Gerade unterhalb der Abszissenachse liegen; die Beschleunigung hätte dann einen negativen Wert (a<0) und der Körper würde abgebremst.
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