Exercício Resolvido de Movimento Unidimensional
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Um móvel parte com velocidade inicial de 1 m/s em movimento retilíneo, é dado o gráfico da aceleração em função do tempo a partir do início do movimento


Determinar:
a) A velocidade em t = 8 s;
b) A velocidade em t = 12 s;
c) A velocidade em t = 14 s;
d) Entre que intervalo de tempo a velocidade diminui.


Dado do problema:
  • Velocidade inicial do móvel:    v0 = 1 m/s.
Solução

a) Em um gráfico da aceleração em função do tempo, a = f(t), a variação da velocidade é igual a área sob a curva.

Figura 1

Podemos dividir o gráfico nas seguintes áreas (Figura 1):
  • Entre os instantes 0 s e 6 s, um trapézio de área igual a
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {A_1=\frac{(B+b)h}{2}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} A_1=\frac{[6+(6-2)]\times 2}{2}\\[5pt] A_1=\frac{[6+4]\times 2}{2}\\[5pt] A_1=\frac{10\times 2}{2}\\[5pt] A_1=10 \end{gather} \]
  • Entre os instantes 6 s e 8 s, um trapézio de área igual a
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {A_2=\frac{(B+b)h}{2}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} A_2=\frac{(4+2)\times(8-6)}{2}\\[5pt] A_2=\frac{6\times2}{2}\\[5pt] A_2=6 \end{gather} \]
A variação da velocidade será a área total dada pela soma das áreas encontradas
\[ \begin{gather} \Delta v=A_1+A_2\\[5pt] \Delta v=10+6\\[5pt] \Delta v=16\;\mathrm{m/s} \end{gather} \]
Da definição de variação da velocidade
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\Delta v=|\;v_f-v_i\;|} \tag{I} \end{gather} \]
usando a variação da velocidade encontrada acima e a velocidade inicial dada no problema (vi = v0 = 1 m/s), a velocidade em t = 8 s será
\[ \begin{gather} 16=|\;v_8-1\;|\\[5pt] 16=v_8-1\\[5pt] v_8=16+1 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v_8=17\;\mathrm{m/s}} \end{gather} \]

b) Para encontrar a velocidade em t = 12 s devemos encontrar a variação da velocidade entre t = 8 s e t = 12 s (Figura 2).

Figura 2
  • Entre os instantes 8 s e 12 s, temos um triângulo de área igual a
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {A_3=\frac{Bh}{2}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} A_3=\frac{(12-8)\times 4}{2}\\[5pt] A_3=\frac{4\times 4}{2}\\[5pt] A_3=8 \end{gather} \]
Sendo esta área igual a variação da velocidade (Δv) e a velocidade encontrada no item (a) como sendo a velocidade inicial desta parte do movimento (vi = v8 = 17 m/s), a expressão (I) nos dá
\[ \begin{gather} 8=|\;v_{\;12}-17\;|\\[5pt] 8=v_{12}-17\\[5pt] v_{12}=8+17 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v_{12}=25\;\mathrm{m/s}} \end{gather} \]

c) Entre 12 s e 14 s a aceleração é nula (a = 0, portanto não há mudança na velocidade do móvel, sua velocidade permanece constante.

d) A velocidade não diminui em nenhum intervalo de tempo.

Observação: entre os instantes 8 s e 12 s, o gráfico apresenta uma reta em que a aceleração diminui com o tempo. Mas isto não significa que a velocidade diminua, a reta está acima do eixo das abscissas (eixo do tempo) assim a aceleração tem valor positivo (a>0) e a velocidade aumenta em uma taxa menor. Para que a velocidade diminuísse seria necessário que a reta estivesse abaixo do eixo das abscissas, a aceleração teria valor negativo (a<0) e o móvel estaria sendo freado.
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