Il moto di un corpo è dato dal grafico della velocità in funzione del tempo, v = f(t):
Determinare:
a) Lo spazio percorso tra 1 s e 9 s;
b) La velocità media tra 1 s e 9 s;
c) L'accelerazione media tra 1 s e 9 s.
Soluzione:
a) In un grafico della velocità in funzione del tempo, v = f(t), lo spazio percorso è uguale
all'area sotto la curva. L'asse delle ascisse (asse del tempo) è diviso in unità di 1 s, l'asse delle ordinate
(asse della velocità) è diviso in unità di 1 m/s. L'area di un quadrato è la moltiplicazione dei lati.
\[
\begin{gather}
1\;\cancel{\mathrm s}\times 1\;\frac{\mathrm m}{\cancel{\mathrm s}}=1\;\mathrm m
\end{gather}
\]
Un quadrato del grafico rappresenta 1 m di spostamento del corpo.
Tra gli istanti 4 s e 9 s, abbiamo per conteggio diretto 15 quadrati che rappresentano 15 m di spostamento
(Figura 1).
\[
\begin{gather}
A_1=15\;\mathrm m
\end{gather}
\]
Dalla Figura 2 vediamo che tra 1 s e 2 s abbiamo mezzo quadrato, che rappresenta 0,5 m di spostamento.
\[
\begin{gather}
A_2=0,5\;\mathrm m
\end{gather}
\]
Tra 3 s e 4 s le aree tra le velocità 0 e 1 m/s e tra 2 m/s e 3 m/s si completano in modo da formare un quadrato e
lo spostamento sarà di 1 m.
\[
\begin{gather}
A_3=1\;\mathrm m
\end{gather}
\]
tra le velocità di 1 m/s e 2 m/s, abbiamo mezzo quadrato, che rappresenta 0,5 m di spostamento.
\[
\begin{gather}
A_4=0,5\;\mathrm m
\end{gather}
\]
Tra 4 s e 6 s le aree si completano in modo da formare un quadrato e lo spostamento sarà di 1 m.
\[
\begin{gather}
A_5=1\;\mathrm m
\end{gather}
\]
Tra 7 s e 9 s abbiamo due mezze aree che si completano in modo da formare un quadrato e lo spostamento sarà di 1 m.
\[
\begin{gather}
A_6=1\;\mathrm m
\end{gather}
\]
Lo spazio percorso sarà l'area totale data dalla somma delle aree trovate.
\[
\begin{gather}
\Delta S=A_1+A_2+A_3+A_4+A_5+A_6 \\[5pt]
\Delta S=15+0,5+1+0,5+1+1
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{\Delta S=19\;\mathrm m}
\end{gather}
\]
b) La velocità media è data da
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{v_m=\frac{\Delta S}{\Delta t}}
\end{gather}
\]
usando lo spazio percorso trovato al punto (a)
\[
\begin{gather}
v_m=\frac{19}{9-1} \\[5pt]
v_m=\frac{19}{8}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{v_m\approx 2,4\;\mathrm{m/s}}
\end{gather}
\]
c) L'accelerazione media è data da
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{a_m=\frac{\Delta v}{\Delta t}}
\end{gather}
\]
dal grafico abbiamo che per t1 = 1 s la velocità vale v1 = 1 m/s, e per
t2 = 9 s la velocità vale v2 = 2 m/s
\[
\begin{gather}
a_m=\frac{2-1}{9-1} \\[5pt]
a_m=\frac{1}{8}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{a_m\approx 0,1\;\mathrm{m/s^2}}
\end{gather}
\]
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